Продукты и копроверки в позициях

Question

При чтении Bartosz 'отлично Category theory for Programmers, я застрял во втором упражнении, которое касается продуктов в позициях. С учетом поста,

b e 
    ↗ ⤭ ↘ 
a → c f → h 
    ↘ ⤭ ↗ 
    d g 

Как я могу определить продукт в категориальном смысле? Что классифицируется продуктом двух объектов? А как насчет копродукта?

Answer 1

Давайте посмотрим на определение продукта первой:

Продукт объектов a и b является объектом c оснащен морфизмов p :: c -> a и q :: c -> b существуют, такие, что для любого другого объекта c' (с морфизмы p' :: c' -> a и q' :: c' -> b) существует морфизм m :: c' -> c такой, что p' = p . m и q' = q . m.

Помните, что морфизм в poset в основном описывает отношение «меньше или равно».

В настоящее время продукт c между двумя объектами a и b должен быть объектом меньше или равно как и ab. В качестве примера, позволяет выбрать a как e и b как g от вашего графика:

b e -- this one is a 
    ↗ ⤭ ↘ 
a → c f → h 
    ↘ ⤭ ↗ 
    d g -- this one is b 

Тривиально, то первый объект, который приходит на ум, который всегда меньше или равна любой другой объект является самым маленьким объектом , в этом случае a.

Настоящий a Действительный кандидат на продукт e и g? Давайте проверим определение продукта:

Есть ли морфизм от a до e? Да, это существует и может быть записано как pₐ = ce . ac (читайте как: «сначала стрелку от a до c, затем стрелку от c до e»).

Есть ли морхизм от a до g? Да, это тоже существует и может быть написано как qₐ = cg . ac.

Насколько до сих пор остается только вопрос о том, является ли это «лучшим» кандидатом в том смысле, что нет другого объекта, так что мы можем построить уникальный изоморфизм между a и другим кандидатом?

Рассматривая график, мы можем видеть, что объект c также отвечает необходимым критериям: p = ce и q = cg.

Все, что осталось сделать, это ранжировать эти два объекта в соответствии с приведенным выше определением. Мы видим, что существует морфизм от a до c. Это означает, что c должен быть лучшим кандидатом, так как теперь мы можем определить морфизм m = ac такой, что pₐ = p . m = ce . ac и qₐ = q . m = cg . ac.

Таким образом, произведение двух объектов в poset на самом деле является самым большим объектом, который меньше, чем оба (также называемый самой большой нижней границей). Стоит отметить, что в общем порядке это соответствует функции min(a, b), так как каждый объект должен быть связан с любым другим объектом (Wolfram называет это trichotomy law).

---

Аналог к ​​определению продукта, коумножение соответствует наименьшему объекту, большей или равной как a и b. В общем порядке это соответствует максимуму обоих объектов. Вы можете это сделать самостоятельно.