Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного с Mathematica?

Question

Как я могу написать код в Mathematica, чтобы увидеть результат:

Как вы видите, мы имеем сложную функцию w=f(z), где z=x+iy и w=u+iv.

В этом примере w=sin z, и мы видим изображение вертикальной линии x=c - это гипербола. (Слева)

и изображение горизонтальной линии y=c является эллиптической. (Справа)

Эта фотография взяла из книги «комплексных переменных и приложений, Джеймс Уорд Браун, Ruel Vance Черчилль», 8-е издание: страницы 331 и 333 или третье издание страницах 96-97

Answer 1

Что-то вроде этого ?

ClearAll[u, v, f]; 
f[z_] := Sin[z] 
u[x_, y_] := Re@f[x + I*y]; 
v[x_, y_] := Im@f[x + I*y]; 

EDIT: Это просто производит все это. Если вы хотите, чтобы просто посмотреть, что происходит на одной траектории, параллельной мнимой оси, попробуйте

ParametricPlot[{u[5, y], v[5, y]}, {y, -3, 3}] 

или же параллельно действительной оси попытаться

ParametricPlot[{u[x, 1], v[x, 1]}, {x, -3, 3}] 

edit2: Interactive:

ClearAll[u, v, f]; 
f[z_] := Sin[z] 
u[x_, y_] := Re@f[x + I*y]; 
v[x_, y_] := Im@f[x + I*y]; 

Manipulate[ 
Show[ 
    Graphics[{Line[{p1, p2}]}, PlotRange \[Rule] 3, Axes \[Rule] True], 
    ParametricPlot[ 
     {u[p1[[1]] + t (p2[[1]] - p1[[1]]), 
p1[[2]] + t (p2[[2]] - p1[[2]])], 
      v[p1[[1]] + t (p2[[1]] - p1[[1]]), 
p1[[2]] + t (p2[[2]] - p1[[2]])]}, 
     {t, 0, 1}, 
     PlotRange \[Rule] 3]], 
{{p1, {0, 1}}, Locator}, 
{{p2, {1, 2}}, Locator}] 

(уродливый, да, но нет времени исправить его сейчас). Типичный выход:

или

Идея заключается в том, что вы можете изменить линию на левой стороне цифры, которые вы даете (нажав вокруг участка, который составляет, нажав на диаграмма Аргана ...) и увидеть соответствующие изображения.

Answer 2

В зависимости от того, что вы хотите делать с представлениями, иногда может быть полезно визуализировать поверхность Римана в 3D. Вот поверхность для w=sin(z) в 3D, аккуратно показывающая разрезы ветвей и разные ветви (такие же, как первый сюжет acl, но в 3D).

ParametricPlot3D[ 
Evaluate[{Re@Sin[z], Im@Sin[z], y} /. z -> x + I y], {x, -2, 
    2}, {y, -2, 2}]