Что такое эквивалентные классы?

Question

Пусть A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} и R - отношение на A следующим образом:

R = {(a, a), (f, c), (b, b), (c, f), (a, d), (c, c), (c, i), (d, a), (b, e), (i, c) , (e, b), (d, d), (e, e), (f, f), (g, g), (h, h), (i, i), (h, e) (a, g), (g, a), (d, g), (g, d), (b, h), (h, b), (e, h), (f, i), (i , f)}

Я знаю, что это отношение эквивалентности, которое является симметричным, транзитивным и рефлексивным, но меня путают в классах эквивалентности? Каковы классы эквивалентности? Как найти классы эквивалентности отношения?

Answer 1

Как вы заявили, отношение эквивалентности - это отношение, которое является симметричным, рефлексивным и транзитивным. Определение этих терминов заключается в следующем:

Симметричный:

Учитывая, Ь в А, если а = Ь, то Ь = а.

Reflexive:

Учитывая в А, а = а.

Транзитивные:

Учитывая, б, в A, если A = B и B = C, то а = с.

Используя эти определения, мы можем видеть, что R отношение установлен в вашем вопросе, действительно отношение эквивалентности на А. Это происходит потому, что для каждого а, б, в A:

а = а, которое представлено формулой (а, а) в R

, если а = Ь, то Ь = а, представленное формулой (Ь, а) и (а, б) и, находясь в R

, если = b и b = c, то a = c, представленное (a, b), (b, c) и (a, c) в R.

Вы можете проверить, чтобы это было правдой, но я уверен, что это так. Это то, что делает R отношением эквивалентности. Как только у нас есть определение отношения эквивалентности, мы можем определить класс эквивалентности следующим образом:

Множество всех элементов в наборе, которые равны при заданном соотношении эквивалентности. В формальных обозначениях {x в S | x -> a}, где -> - отношение эквивалентности.