взвешенная матрица ковариации в numpy

Question

Я хочу вычислить ковариацию C из n измерений p количества, где каждому индивидуальному измерению количества присваивается собственный вес. То есть мой весовой массив W имеет ту же форму, что и мой массив величин Q (n от p). Нативная функция np.cov() поддерживает только веса, заданные для отдельных измерений (т. Е. Вектор длины n).

Я могу инициализировать матрицу p на p и повторить ее, но если p большой, то это очень медленный процесс.

Поскольку Q как известно, имеют средний ноль для каждого количества (столбец Q), явная формула для каждого элемента C является

C[i,j] = np.sum(
    Q[:, i] * Q[:, j] * W[:, i] * W[:, j])/np.sum(W[:, i] * W[:, j]) 

Если я переставить числитель быть Q[:, i] * W[:, i] * Q[:, j] * W[:, j], кажется, что I должен иметь возможность умножать и суммировать столбцы Q * W, а затем делать знаменатель аналогичным образом (за исключением использования W * W).

Есть ли способ сделать это с помощью np.einsum()?

Для тестирования, давайте определим следующее:

C = array([[ 1. , 0.1 , 0.2 ], # set this beforehand, to test whether 
      [ 0.1 , 0.5 , 0.15], # we get the correct result 
      [ 0.2 , 0.15, 0.75]]) 

Q = array([[-0.6084634 , 0.16656143, -1.04490324], 
      [-1.51164337, -0.96403094, -2.37051952], 
      [-0.32781346, -0.19616374, -1.32591578], 
      [-0.88371729, 0.20877833, -0.52074272], 
      [-0.67987913, -0.84458226, 0.02897935], 
      [-2.01924756, -0.51877396, -0.68483981], 
      [ 1.64600477, 0.67620595, 1.24559591], 
      [ 0.82554885, 0.14884613, -0.15211434], 
      [-0.88119527, 0.11663335, -0.31522598], 
      [-0.14830668, 1.26906561, -0.49686309]]) 

W = array([[ 1.01133857, 0.91962164, 1.01897898], 
      [ 1.09467975, 0.91191381, 0.90150961], 
      [ 0.96334661, 1.00759046, 1.01638749], 
      [ 1.04827001, 0.95861001, 1.01248969], 
      [ 0.91572506, 1.09388218, 1.03616461], 
      [ 0.9418178 , 1.07210878, 0.90431879], 
      [ 1.0093642 , 1.00408472, 1.07570172], 
      [ 0.92203074, 1.00022631, 1.09705542], 
      [ 0.99775598, 0.01000000, 0.94996408], 
      [ 1.02996389, 1.01224303, 1.00331465]]) 

Answer 1

Вы можете использовать очень эффективную матрицу-умножение np.dot -

QW = Q*W 
C = QW.T.dot(QW)/W.T.dot(W) 

Answer 2

После еще нескольких экспериментов я обнаружил, что следующие работы:

A = np.einsum('ki,kj->ij', Q*W, Q*W) 
B = np.einsum('ki,kj->ij', W, W) 
C = A/B