Partition положительно определенная квадратная матрица на две идентичную матрицу

Question

просто я хочу, чтобы разбить n*n положительно определенной матрицы в идентичные n*r матрице В, где г произвольно, в другом слове:

B*B^T=A 
(n*r)*(n*r)^T=(n*n) 

Edit: я думаю, что это была моя ошибка, плохо описывающая мою проблему. let B быть матрицей с размером (n*r). передайте его функции A=f(B^T*B), где A - (n*n). Я знаю, что эта функция сохранит ранг матрицы, в другом слове rank(A)=rank(B'*B). сейчас я хочу извлечь новый B. поэтому новый B снова имеет (n*r).

Answer 1

Предположим, что у вас есть следующий пример:

n = 4; 
rng(0) 
A = rand(n,n); 
B = A * A'; 

Если матрица B полный ранг, вы не можете точно покрыть исходную матрицу, используя меньшее количество параметров. Итак, вы можете только приблизительно it. Основная идея здесь заключается в минимизации ошибки восстановления.

Вы можете разложить B на свои собственные векторы, используя eigenvalue decomposition. Вы можете использовать eig в MATLAB, но потом вам нужно отсортировать собственные значения и соответствующие собственные векторы. Вместо этого я предпочитаю Singular Value Decomposition и использовать svd в MATLAB. Обратите внимание, что SVD дает оптимальное решение для ошибки восстановления в приближении матрицы низкого ранга.

[U,S,~] = svd(B); 
U = U * sqrt(S); 

Мы знаем, что B = U * U' сейчас. См. Соотношение между SVD и разложением на собственные значения here.

Как я уже говорил, нам необходимо его приблизить. Я выбираю размеры, покрывающие 99% от общей дисперсии следующим образом:

coverage = cumsum(diag(S.^2)); 
coverage = coverage ./ norm(S,'fro')^2; 
[~, nEig] = max(coverage > 0.99); 
U2 = U(:,1:nEig); 

U2 имеет 2 колонки вместо 4 в этом случае. Если данные скоррелированы, коэффициент усиления будет еще меньше. Результаты заключаются в следующем:

B 
B1 = U*U' 
B2 = U2*U2' 

B = 

    2.8966 2.1881 1.1965 2.1551 
    2.1881 1.9966 0.6827 1.8861 
    1.1965 0.6827 0.7590 0.5348 
    2.1551 1.8861 0.5348 2.0955 


B1 = 

    2.8966 2.1881 1.1965 2.1551 
    2.1881 1.9966 0.6827 1.8861 
    1.1965 0.6827 0.7590 0.5348 
    2.1551 1.8861 0.5348 2.0955 


B2 = 

    2.8896 2.2134 1.1966 2.1385 
    2.2134 1.9018 0.6836 1.9495 
    1.1966 0.6836 0.7586 0.5339 
    2.1385 1.9495 0.5339 2.0528 

Это похоже на хорошее приближение.