Как точно откалибровать измерение с использованием корреляции более высокого порядка?

Question

У меня около 1000 измерений с использованием устройства. Назовем эти измерения y. Для каждого из этих измерений я знаю, каково должно быть фактическое измерение, назовем их z. Как я могу откалибровать, настроить или масштабировать y для лучшей оценки? Я думал о решении любой из следующих систем уравнений (линейных/нелинейных) для альфа, бета и гамма:

или

Может кто-нибудь дать мне несколько советов и дайте мне знать, правильно ли я это делаю?

Answer 1

Прежде всего вам нужно знать, что измерительное устройство выполняет два вида ошибок: случайное и систематическое.

Случайные ошибки связаны с рядом факторов возмущения со сложным взаимодействием и приведут к не повторяемости (в два раза измерения, близкие к одному и тому же значению). Чтобы уменьшить случайные ошибки, вы можете повторить измерение и среднее значение.

Систематические ошибки являются постоянными и стабильными. Это связано с тем, что отношение z = y является неправильным или приблизительным и будет повторяться одинаково для одного и того же измерения. Истинное отношение может иметь вид y = z + c с c != 0 (погрешностью смещения), y = c.z с c != 1 (ошибкой усиления) y = c1.z + c2 (оба), или нелинейно, как y = c1.z² + c2.z + c3, y = (c1.z + c2)/(c3.z + c4), y = ln(exp(z)+1) ... или любым другие.

В некоторых случаях у вас есть причины знать функциональную форму отношения (например, металлическая линейка получает неправильный «выигрыш» при изменении температуры); в других случаях вы этого не делаете, и вы можете использовать эмпирическую модель, такую ​​как многочлен (нередко отношение является гладким и остается близким к y = z).

Как правило, наблюдение за графиком точек (z, y) подскажет вам важность случайных ошибок и возможную форму функционального отношения.

Простой подход состоит в том, чтобы попытаться установить квадрат с наименьшим квадратом модели полинома (скажем, второй или третьей степени). Затем, когда вы найдете коэффициенты, вы можете посмотреть на относительные величины полиномиальных членов (степеней) по рабочему диапазону. Это скажет вам, являются ли все условия релевантными. Я советую вам отказаться от условий, которые существенно не уменьшают погрешность установки и не содержат простую модель.

---

Рассмотрите приведенный ниже случай, выбранный случайным образом из Интернета.

На первый взгляд отношение выглядит линейным, без ошибки смещения (поскольку отношение включает в себя точку (0, 0)) и несколько неровностей, которые мы можем приписать случайным ошибкам. Для этого устройства должна быть подходящей прямая модель y = c.z, и добавление нелинейных терминов было бы бесполезным или вводящим в заблуждение.