Я использую R, чтобы попытаться найти максимально возможный детерминант, что симметричная матрица 3x3, все записи которой лежат в наборе целых чисел {1,2 , 3,4,5,6} может иметь?Поиск наибольшего детерминанта в симметричной матрице с ограниченными целыми значениями на R
Любые идеи о том, как бы я это сделал?
Существует шесть степеней свободы при выборе элементов в симметричной матрице 3x3 (3 основных диагональных элемента и 3 недиагональных элемента). Каждый из них может принимать 6 различных значений, в общей сложности 46 656 возможных матриц. Мы можем просто перебором проверить все детерминанты:
get.det = function(x) {
det(matrix(c(x[1], x[2], x[3], x[2], x[4], x[5], x[3], x[5], x[6]), nrow=3))
}
vals = expand.grid(1:6, 1:6, 1:6, 1:6, 1:6, 1:6)
dets = apply(vals, 1, get.det)
vals[which.max(dets),]
# Var1 Var2 Var3 Var4 Var5 Var6
# 6691 1 6 6 1 6 1
Так что ваша матрица:
[1 6 6
6 1 6
6 6 1]
с определителем 325.
Я немного медленнее от марки, чем @josilber, (мой ответ - немного бит более общий)
d <- 3
n <- d*(d+1)/2
xx <- do.call(expand.grid,replicate(n,1:n,simplify=FALSE))
Построить симметричную матрицу:
mm <- matrix(nrow=d,ncol=d) ## define once, outside loop
m <- function(x) {
mm[lower.tri(mm,diag=TRUE)] <- unlist(x)
mm[upper.tri(mm)] <- t(mm)[upper.tri(mm)]
mm
}
Получить список матриц:
library(plyr)
mList <- alply(xx,1,m,.progress="text")
Получить детерминанты для каждой матрицы:
detvec <- laply(mList,det)
Найти максимум:
max(detvec) ## 325
mList[[which.max(detvec)]]
Просто для удовольствия:
plot(table(detvec))
Математическое предположения/гипотеза, является ли максимальной-ой матрица всегда матрица с 1 по диагонали и n на Недиагональном, или это зависит от матрицы является нечетным против даже ... и как это доказать.
Этот вопрос не соответствует теме, потому что речь идет о математике. –
... в то время как вы могли бы сделать это с помощью R ** в принципе ** каким-то алгоритмом грубой силы, на практике, вероятно, гораздо лучше попытаться решить проблему, подумав об этом ... могли бы мы иметь немного больше контекста, пожалуйста? Вы можете начать с создания всех 6^6 комбинаций записей через 'xx <- do.call (expand.grid, replicate (6,1: 6, simplify = FALSE))', поместить их в симметричную матрицу и вычислить детерминант - это всего около 45000 записей, поэтому ** ** можно было бы сделать грубой силой. –