Почему FFT не находит импульс в синусоидальной волне?

Question

Я выполняю анализ на синусоидальной волне, и я заметил что-то своеобразное. Когда я вводил один образец импульса случайным образом в любой точке синусоидального кадра, FFT не смог найти его. Интуитивно, БПФ Импульса должен быть синусоидальной, но я ничего не получил. Фактически, я скажу, что информация была потеряна. Почему это так?

Чтобы быть абсолютно ясно, о коде, который сгенерировал это:

Fs=10e3; %Specify Sampling Frequency 
Ts=1/Fs; %Sampling period. 
Ns= 1024; %Number of time samples to be plotted. 
temp = Ts*(Ns-1); 
t=[0:Ts:Ts*(Ns-1)]; %Make time array that contains Ns elements 
%t = [0, Ts, 2Ts, 3Ts,..., (Ns-1)Ts] 
f1= 60; 
f2=1000; 
f3=2000; 
f4=3200; 

x1=sin(2*pi*f1*t (1 : size(t, 2)/2)); %create sampled sinusoids at different frequencies 
x1(1, 400) = 5; 
x2=cos(2*pi*f2*t (size(t, 2)/2 + 1: size(t, 2))) ; 

x = [x1 x2]; 

xfftmag=(abs(fft(x))); 
xfftmagh=xfftmag(1:length(xfftmag)/2); 
%Plot only the first half of FFT, since second half is mirror imag 
%the first half represents the useful range of frequencies from 
%0 to Fs/2, the Nyquist sampling limit. 
f=[1:1:length(xfftmagh)]*Fs/Ns; %Make freq array that varies from 
%0 Hz to Fs/2 Hz. 


[ca, cd] = swt(x, 1, 'haar'); 

Answer 1

Я думал impulse function (ака Dirac delta) будет иметь все частоты, а не один синусоиду.

Возможно, мы не согласны с значением импульсной функции.

This reference гласит: дельта Дирака во временной области является постоянной функцией в частотной области.

Это математическое выражение принципа неопределенности Гейзенберга: вы не можете знать все одновременно во временной и частотной областях.

Ваш БПФ может также потерять импульс из-за вашего выбора частоты дискретизации. Попробуйте увеличить частоту дискретизации и посмотреть, захватывает ли он импульс.

Answer 2

Пара реальных (или комплексно-сопряженных) импульсов при t и N-t будет генерировать косинусоидальную волну в другом домене. Величина одного неспаренного импульса будет постоянной, но фаза будет вращаться со скоростью некоторой синусоиды в зависимости от положения импульса. Поэтому вам нужно будет посмотреть на фазу сложного результата, а не только на величину FFT, чтобы найти импульс.

Рассматривая только величину и игнорируя информацию о фазе в результате БПФ, вы теряете информацию. Поскольку общая площадь под импульсом может быть относительно малой, так будет и преобразование (низкое и разбросанное, возможно, погруженное в шум).

Answer 3

Вы не построили фазовую функцию.

Если вы посмотрите на это, вы должны найти линейное соотношение фаз (с обтеканием вокруг 2pi радианов), которое указывает, как каждая из составляющих частот импульса (помните, что это дискретное преобразование Фурье, поэтому мы имеем дискретный набор результатов) имеют несколько разные фазовые задержки - то есть они все синхронизируются в момент времени импульса. Очевидно, что номинально будут две частоты, которые имеют независимую доминирующую фазовую составляющую вместе с их боковыми полосами.

Вы можете обнаружить, что компоненты боковых зон доминируют, но небольшое исследование с различными компонентами амплитуды должно помочь вам понять, как добавить разные части. Вы можете также построить амплитуду/фазу как трехмерную спираль, которая может быть освещена для простых сценариев.