рекуррентного соотношения - равные корни характеристического уравнения

Question

У меня следующая проблема:

Решить следующее рекуррентное соотношение, упрощая ваш окончательный ответ с помощью «O» обозначения.

F (0) = 3

F (1) = 12

F (N) = 6f (N-1) -9f (п-2)

Мы знаем это однородное отношение 2-го порядка, поэтому мы пишем характеристическое уравнение: a^2-6a+9=0 и решениями являются a1,2=3.

Проблема заключается в том, когда я заменяю эти значения я получаю:

f(n)=c1*3^n+c2*3^n 

и используя 2 начальные отношения у меня есть:

f(0)=c1+c2=3 
f(1)=3(c1+c2)=12 

, который дает мне, что не там нет таких ценностей, которые c1 и c2 так что эти 2 отношения верны.

Я что-то не так? Способ, которым он должен быть решен другим, когда дело касается одинаковых корней для характеристического уравнения?

Answer 1

Вы не можете решить эту проблему, потому что ваша матрица A не диагонализуема. Однако, вот что вы получите, если вы используете обычную форму Джордана вместо:

f(n) = 3^{n-1}(3n + 9) 

Матрица Иордании и основа (с обозначениями из википедии + октавы) является:

J := [3,1;0,3] 
P := [3,4;1,1] 

таким образом, что ПЭП^{-1} = A, где

A := [6,-9;1,0] 

- ваша матрица повторяемости. Кроме того, матрица Jordan почти так же хорошо, как диагональная матрица для вычисления степеней:

J^n = 3^(n-1) * [3,n;0,3]. 

Рецидив затем:

[f(n+1); f(n)] = A^n [12,3] = PJ^nP^-1[12,3] = (<whatever>, 3^(n-1)*(3n+9)). 

Здесь быстрый численный чек (Scala, но вы можете взять все, что вы хочу, Октав или я, как вам нравится):

scala> def f(n: Int): Int = { if (n == 0) 3 else if (n == 1) 12 else (6 * f(n-1) - 9 * f(n-2)) } 
f: (n: Int)Int 

scala> for (i <- 0 until 20) println(f(i)) 
3 
12 
45 
162 
567 
1944 
6561 
21870 
72171 
236196 
767637 
2480058 
7971615 
25509168 
81310473 
258280326 
817887699 
                    ^

scala> def explicit(n: Int): Int = (Math.pow(3, n -1) * (3 * n + 9)).toInt 
explicit: (n: Int)Int 

scala> for (i <- 0 until 20) println(explicit(i)) 
3 
12 
45 
162 
567 
1944 
6561 
21870 
72171 
236196 
767637 
2480058 
7971615 
25509168 
81310473 
258280326 
817887699