Обратный комплекс 2D таблица поиска

Question

У меня есть функция , которая отображает некоторый ввод на выход . Вывод представляет собой комплексное число. Меня интересует обратная функция . Но так как эта инверсия не может быть выполнена аналитическим способом, мне нужно сделать это с помощью численного приближения.

С дорого стоит вычислить. Моя идея состояла в том, чтобы использовать подход таблицы поиска. Я могу создать таблицу 2D-поиска с размерами (таблица прямого поиска), но мне действительно нужна обратная эта таблица поиска, дающая на основе заданного .

Для инверсии таблицы поиска самый простой подход, который я могу придумать, - использовать записи таблицы прямого поиска как вершины и интерполировать между ними в регулярной сетке, получая обратную таблицу поиска. Если обратная таблица поиска будет большой для требуемой точности, я бы сгенерировал грубую таблицу и использовал значения как начальные значения для алгоритма оптимизации. Есть ли какие-то более легкие подходы, которые мне не хватает?

Где , постоянны и , являются .

Answer 1

1. для f(x,y) вы можете использовать f(x,y)->(a,b) 2D LUT (Look Up Table)

   Но сохраненные точки сеток должны быть выбраны так плотны, так что есть максимум одна шишки на сетку прямоугольника, в противном случае интерполяция будет не работает правильно.

   Если вы хотите использовать линейную интерполяцию, то локальный min/max должен быть точками внутри LUT, поскольку для полиномиальной интерполяции более высокого порядка это не всегда необходимо. Я хотел бы использовать 4 point cubic interpolation

2. как вычислить g(a,b)->(x,y)

   • первый реверса отображение возможно?
   • поэтому сколько (x,y) баллов вернуть то же самое (a,b)=f(x,y)?
   • это то же самое, что и вопрос: Is f функция или нет?

   если f не функционирует, то у вас проблемы и вы не можете решить эту проблему, если каким-то образом не подразделяют диапазон для поддиапазонов, где f является функцией, а затем вы должны выбрать правильный выбор в соответствии с некоторыми правилами зависимых о том, что вы пытаетесь сделать. Поэтому допустим, что f является функцией

   Итак, как вычислить (x,y)=g(a,b), что f(x,y)=(a,b)?

   1. Я бы начал с приближения к результату. Так что попробуйте достаточно (x,y) значений по всему диапазону и сохраните ближайшую точку до нужного выхода так, чтобы |f(x,y)-(a,b)| был минимальным.

   2. Затем запустите это снова, но не на полном диапазоне, но вокруг этой точки вместо

      • рекурсивно повышения точности до точки вам нужно.
      • смотрите здесь Increasing accuracy of solution of transcendental equation там я вычислительное аналогичные проблемы имеют 1D LUT из 2D точек (a(t),y(t)) и нужна обратная 3D точка (a0,y0,z0) Вы можете использовать мое приближение класса там

Верстка приближений делается так:

int n=5; // recursions 
double e; // Error Of Solution Variable 
approx ax,ay; 
//   min max step 
for (ax.init(-100.0,+100.0,10.0,n,&e);!ax.done;ax.step()) 
for (ay.init(-100.0,+100.0,10.0,n,&e);!ay.done;ay.step()) 
    { 
    e=|f(ax.a,ay.a)-(a,b)|; 
    } 
// here (ax.a,ay.a) should hold your solution for input point `(a,b)` 

• начальный шаг должен быть небольшой, так что нет шишка пропустил
• если ваша g(a,b) форма является слишком сложным, то это, вероятно, не работает должным образом

Из этого можно вычислить таблицу обратного LUT ...

• Каждая рекурсия делит этот шаг на 10, поэтому выбирайте n с умом.

Для 2D и особых точек производительность этого не так плохо O((log(N))^2). Я делаю это на 3D O((log(N))^3) с 100 точек на e вычисление, и это мучительно медленно (около 35 секунд)

• где N=(10^n)*(max-min)/step и n этого числа рекурсий
• точности step/(10^n)
• не забудьте изменить min, max на используемые диапазоны ...