Не удалось найти ошибку на моем индуктивном шаге

Question

Несколько дней назад я решал некоторые индукционные приемы, и я попытался и решил это.

Ведомость

Что не так с этим «доказательством»?

«Теорема» Для каждого натурального n, если x и y - целые положительные числа с max (x, y) = n, то x = y.

Основа Шаг: Предположим, что п = 1. Если тах (х, у) = 1 и х и у являются положительными целыми числами, то есть х = 1 и у = 1.

Индуктивный шаг: Пусть к положительное целое число. Предположим, что всякий раз, когда max (x, y) = k, а x и y - целые положительные числа, то x = y. Пусть теперь max (x, y) = k + 1, где x и y - целые положительные числа. Тогда max (x - 1, y - 1) = k, поэтому по индуктивному предположению x - 1 = y - 1. Отсюда следует, что x = y, завершая индуктивный шаг.

раствор, взятый из оригинальной книги

Ошибки находится в применении индуктивной гипотезу смотреть на макс (х - 1, у - 1), так как даже если х и у являются положительными целыми числами, х - 1 и у - 1 не должно быть (один или оба могут быть 0)

Теперь мой вопрос

После решения проблемы я написал свой собственный шаг индукции, исходя из той же гипотезы. Я сделал это просто для удовольствия, но теперь, даже зная, что мой индуктивный шаг неправильный, я не могу найти ошибку. Мне нужно знать, что не так на моем индуктивном этапе и почему.

Мой индуктивный шаг

Индуктивный шаг: Пусть к положительным целым числом. Предположим, что всякий раз, когда max (x, y) = k, а x и y - целые положительные числа, то x = y. Так как max (x, y) = k и x и y - целые положительные числа с x = y, I плюс 1 как для x, так и для y. Тогда max (x + 1, y + 1) = k + 1. Отсюда следует, что x + 1 = y + 1, так как x = y, завершая индуктивный шаг.

Answer 1

Ваш индуктивный шаг не приближает вас к основному корпусу.

Answer 2

Заключение вашего индуктивного шага не соответствует исходной теореме.

Теорема гласит, что для данного n в случае все положительные целые числа x, y с max (x, y) = n, x должны быть равны y.

Ваш индуктивный шаг дает только max (x + 1, y + 1) = n (с n = k + 1). Но не все положительные целые числа имеют вид x + 1 (причем x также является положительным целым): 1 - контрпример. Поэтому ваше доказательство не охватывает все возможные значения x и y.