Russell's Paradox

Question

Пусть X - множество всех множеств, которые не содержат самих себя. Является ли X членом X?

Answer 1

В ZFC либо аксиома основания [как упомянуто], либо аксиома (схема) понимания запретит это. Первое, по очевидным причинам; во-вторых, так как она в основном говорит, что для данного г и имущество первого порядка P, вы можете построить {х ∈ г: P (х)}, но для формирования набора Рассела , вам понадобится z = V (класс всех множеств), который не является множеством (т.е. не может быть сгенерирован ни с одной из данных аксиом).

В новых фондах (NF), «х ∉ х» не расслаиваются формула, и поэтому снова мы не можем определить множество Рассела. Несколько забавно, однако, Vявляется a набор в NF.

В фон Неймана - Бернайса - Гёделем теории множеств (NBG), класс R = {х: х представляет собой набор и х ∉ х} определимо. Затем мы спрашиваем, R ∈ R; если да, то также R ∉ R, что дает противоречие. Таким образом, мы должны иметь R ∉ R. Но нет никакого противоречия здесь нет, так как для данного класса , ∉ R означает либо ∈ или собственный класс. Начиная с R ∉ R, мы должны просто иметь то, что R является подходящим классом.

Конечно, класс R = {х: х ∉ х}, без ограничения, просто не определимы в НБСЕ.

Следует также отметить, что описанная выше процедура формально constructable в качестве доказательства в НБС, в то время как в ZFC приходится прибегать к мета-рассуждению.

Answer 2

Вопрос задан в стандартной теории ZFC (Zermelo-Fraenkel + axiom of Choice), потому что указанный таким образом объект не является множеством.

С тех пор, как и в случае стандартного ZFC, ваш класс {x: x \ not \ in x} не является множеством, ответ становится нет, это не элемент самого себя (даже как класс), поскольку только множества могут быть элементами классов или множеств.

Кстати, как только вы соглашаетесь с axiom of foundation, ни один набор не может быть элементом самого себя.

Конечно, хорошая вещь о математике - вы можете выбрать любые аксиомы, которые вы хотите :), но верить в парадоксы просто странно.

Answer 3

Самое элегантное доказательство, которое я когда-либо видел, очень близко напоминает парадокс Рассела.

Теорема (Кантор, я полагаю). Пусть X - множество, а 2^X - множество его подмножеств. Затем карта (X) < карта (2^X).

Доказательство. Несомненно, карта (X) < = card (2^X), так как существует тривиальная биекция между X и одинальями в 2^X. Мы должны доказать, что карта (X)! = Card (2^X).

Предположим, что между X и 2^X существует биекция. Тогда каждый xk в X отображается в множество Ak в 2^X.

• x1 ---> A1
• x2 ---> A2
• ...
• хк ---> Ак
• ...

Для каждого xk шансы: либо xk принадлежит Ак, либо нет. Пусть M - множество всех тех xk, которые имеют , а не принадлежат их соответствующему набору Ak. M - подмножество X, поэтому должен существовать элемент m из X, отображаемый на M биекцией.

Входит ли M в M? Если это так, то это не так, поскольку M - это набор тех x, которые делают , а не, принадлежат к набору, к которому они привязаны. Если это не так, то это делает, поскольку M содержит все таких х. Это противоречие вытекает из предположения о существовании биекции. Таким образом, биекция не может существовать, две мощности различны, и теорема доказана.