Дискретное преобразование вейвлета (вейвлетов Добеши) массивных чисел массива

Question

Скажем, у меня есть сигнал, представленный как массив действительных чисел y = [1,2,0,4,5,6,7,90,5,6]. Я могу использовать коэффициенты Daubechies-4 D4 = [0.482962, 0.836516, 0.224143, -0.129409] и применять вейвлет-преобразование для приема высоких и низких частот сигнала. Таким образом, высокая частотная составляющая будет рассчитана следующим образом:

high[v] = y[2*v]*D4[0] + y[2*v+1]*D4[1] + y[2*v+2]*D4[2] + y[2*v+3]*D4[3], 

и компонент низкой частоты может быть вычислен с использованием другого D4 coefs перестановки.

---

Вопрос заключается в том: что, если y сложный массиве? Я просто умножаю и добавляю комплексные числа для получения поддиапазонов, или это правильно, чтобы получить амплитуду и фазу, рассматривать каждую из них как реальное число, вносить вейвлет-преобразование для них, а затем восстанавливать массив комплексных чисел для каждого поддиапазона, используя формулы real_part = abs * cos(phase) и imaginary_part = abs * sin(phase)?

Answer 1

Чтобы обработать случай сложных данных, вы смотрите на Complex Wavelet Transform. На самом деле это просто расширение DWT. Наиболее распространенный способ обработки сложных данных - рассматривать реальные и мнимые компоненты как два отдельных сигнала и выполнять DWT для каждого компонента отдельно. Затем вы получите разложение реальных и мнимых компонентов.

Это широко известный как Двойное дерево Комплексное преобразование вейвлета. Лучше всего это может быть описана на рисунке ниже, я вытащил из Википедии:

^{Источник: Wikipedia}

Это называется «двойное дерево», потому что у вас есть два DWT разложения происходит параллельно - один для действительной составляющей и один для мнимой. На приведенной выше диаграмме g0/h0 представляют компоненты нижних частот и верхних частот реальной части сигнала x и g1/h1 представляют составляющие низкочастотного и высокочастотного сигналов мнимой части сигнала x.

После того, как вы разложите реальную и мнимую части на соответствующие разложения DWT, вы можете объединить их для получения величины и/или фазы и перейти к следующему шагу или тому, что вы хотите сделать с ними.

---

Математическое доказательство о правильности этого выходит за рамки того, что мы говорим об этом, но если вы хотели бы видеть, как это было получено, я отсылаю вас к каноническому бумаге Кингсбери в 1997 году в работе Обработка изображений со сложными волноводами - http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=835E60EAF8B1BE4DB34C77FEE9BBBD56?doi=10.1.1.55.3189&rep=rep1&type=pdf. Обратите особое внимание на фильтрацию шума изображений с помощью CWT - это, вероятно, то, что вы ищете.