Построение кумулятивной функции распределения после количественной оценки

Question

У меня есть этот фрейм данных с двумя столбцами (Y и X).

С quantreg пакетом я могу оценить квантили Y условных на X.

я неспособен построить интегральную функцию плотности Y условную на X. Кто-нибудь может мне помочь?

Оценка квантили:

library(quantreg) 
taus=seq(0.1, 0.9, by = 0.01) 
Quantis<-rq(data[,1] ~ data[,2],tau=taus,method="br") 

После этого, как сгенерировать интегральную функцию распределения (Fx)?

Это мой data.frame:

structure(list(Y = c(NA, -1.793, -0.642, 1.189, -0.823, -1.715, 
1.623, 0.964, 0.395, -3.736, -0.47, 2.366, 0.634, -0.701, -1.692, 
0.155, 2.502, -2.292, 1.967, -2.326, -1.476, 1.464, 1.45, -0.797, 
1.27, 2.515, -0.765, 0.261, 0.423, 1.698, -2.734, 0.743, -2.39, 
0.365, 2.981, -1.185, -0.57, 2.638, -1.046, 1.931, 4.583, -1.276, 
1.075, 2.893, -1.602, 1.801, 2.405, -5.236, 2.214, 1.295, 1.438, 
-0.638, 0.716, 1.004, -1.328, -1.759, -1.315, 1.053, 1.958, -2.034, 
2.936, -0.078, -0.676, -2.312, -0.404, -4.091, -2.456, 0.984, 
-1.648, 0.517, 0.545, -3.406, -2.077, 4.263, -0.352, -1.107, 
-2.478, -0.718, 2.622, 1.611, -4.913, -2.117, -1.34, -4.006, 
-1.668, -1.934, 0.972, 3.572, -3.332, 1.094, -0.273, 1.078, -0.587, 
-1.25, -4.231, -0.439, 1.776, -2.077, 1.892, -1.069, 4.682, 1.665, 
1.793, -2.133, 1.651, -0.065, 2.277, 0.792, -3.469, 1.48, 0.958, 
-4.68, -2.909, 1.169, -0.941, -1.863, 1.814, -2.082, -3.087, 
0.505, -0.013, -0.12, -0.082, -1.944, 1.094, -1.418, -1.273, 
0.741, -1.001, -1.945, 1.026, 3.24, 0.131, -0.061, 0.086, 0.35, 
0.22, -0.704, 0.466, 8.255, 2.302, 9.819, 5.162, 6.51, -0.275, 
1.141, -0.56, -3.324, -8.456, -2.105, -0.666, 1.707, 1.886, -3.018, 
0.441, 1.612, 0.774, 5.122, 0.362, -0.903, 5.21, -2.927, -4.572, 
1.882, -2.5, -1.449, 2.627, -0.532, -2.279, -1.534, 1.459, -3.975, 
1.328, 2.491, -2.221, 0.811, 4.423, -3.55, 2.592, 1.196, -1.529, 
-1.222, -0.019, -1.62, 5.356, -1.885, 0.105, -1.366, -1.652, 
0.233, 0.523, -1.416, 2.495, 4.35, -0.033, -2.468, 2.623, -0.039, 
0.043, -2.015, -4.58, 0.793, -1.938, -1.105, 0.776, -1.953, 0.521, 
-1.276, 0.666, -1.919, 1.268, 1.646, 2.413, 1.323, 2.135, 0.435, 
3.747, -2.855, 4.021, -3.459, 0.705, -3.018, 0.779, 1.452, 1.523, 
-1.938, 2.564, 2.108, 3.832, 1.77, -3.087, -1.902, 0.644, 8.507 
), X = c(0.056, 0.053, 0.033, 0.053, 0.062, 0.09, 0.11, 0.124, 
0.129, 0.129, 0.133, 0.155, 0.143, 0.155, 0.166, 0.151, 0.144, 
0.168, 0.171, 0.162, 0.168, 0.169, 0.117, 0.105, 0.075, 0.057, 
0.031, 0.038, 0.034, -0.016, -0.001, -0.031, -0.001, -0.004, 
-0.056, -0.016, 0.007, 0.015, -0.016, -0.016, -0.053, -0.059, 
-0.054, -0.048, -0.051, -0.052, -0.072, -0.063, 0.02, 0.034, 
0.043, 0.084, 0.092, 0.111, 0.131, 0.102, 0.167, 0.162, 0.167, 
0.187, 0.165, 0.179, 0.177, 0.192, 0.191, 0.183, 0.179, 0.176, 
0.19, 0.188, 0.215, 0.221, 0.203, 0.2, 0.191, 0.188, 0.19, 0.228, 
0.195, 0.204, 0.221, 0.218, 0.224, 0.233, 0.23, 0.258, 0.268, 
0.291, 0.275, 0.27, 0.276, 0.276, 0.248, 0.228, 0.223, 0.218, 
0.169, 0.188, 0.159, 0.156, 0.15, 0.117, 0.088, 0.068, 0.057, 
0.035, 0.021, 0.014, -0.005, -0.014, -0.029, -0.043, -0.046, 
-0.068, -0.073, -0.042, -0.04, -0.027, -0.018, -0.021, 0.002, 
0.002, 0.006, 0.015, 0.022, 0.039, 0.044, 0.055, 0.064, 0.096, 
0.093, 0.089, 0.173, 0.203, 0.216, 0.208, 0.225, 0.245, 0.23, 
0.218, -0.267, 0.193, -0.013, 0.087, 0.04, 0.012, -0.008, 0.004, 
0.01, 0.002, 0.008, 0.006, 0.013, 0.018, 0.019, 0.018, 0.021, 
0.024, 0.017, 0.015, -0.005, 0.002, 0.014, 0.021, 0.022, 0.022, 
0.02, 0.025, 0.021, 0.027, 0.034, 0.041, 0.04, 0.038, 0.033, 
0.034, 0.031, 0.029, 0.029, 0.029, 0.022, 0.021, 0.019, 0.021, 
0.016, 0.007, 0.002, 0.011, 0.01, 0.01, 0.003, 0.009, 0.015, 
0.018, 0.017, 0.021, 0.021, 0.021, 0.022, 0.023, 0.025, 0.022, 
0.022, 0.019, 0.02, 0.023, 0.022, 0.024, 0.022, 0.025, 0.025, 
0.022, 0.027, 0.024, 0.016, 0.024, 0.018, 0.024, 0.021, 0.021, 
0.021, 0.021, 0.022, 0.016, 0.015, 0.017, -0.017, -0.009, -0.003, 
-0.012, -0.009, -0.008, -0.024, -0.023)), .Names = c("Y", "X" 
), row.names = c(NA, -234L), class = "data.frame") 

Answer 1

Кумулятивная функция распределения для каждого X является оценкой Y на каждом квантильном tau с X проведенного фиксированным. Я не так разбираюсь в квантильной регрессии, но кажется, что вывод rq несовместим в том смысле, что Y против tau для данного X не обязательно монотонно.

Например, ниже приведен код, чтобы получить интегральную функцию распределения для четырех значений X:

library(quantreg) 
library(reshape2) 
library(ggplot2) 

taus=seq(0,1,0.01) 
Quantis<-rq(Y ~ X, tau=taus, method="br", data=data) 

# Get predictions of Y for four X values for all taus 
X = seq(min(data$X), max(data$X), length.out=4) 
pred = as.data.frame(predict(Quantis, newdata=data.frame(X))) 
pred$X = X 

Каждой строкой pred является кумулятивной функцией распределения для заданного X значения (где значение X является в последнем столбце pred). Ниже мы преобразуем этот фрейм данных в длинный формат для построения с помощью ggplot.

# Reshape predictions to long format 
pred = melt(pred, id.var="X", variable.name="tau", value.name="Y") 
pred$tau = as.numeric(gsub("tau= (.*)", "\\1", pred$tau)) 

# Plot predictions 
ggplot(pred, aes(x=Y, y=tau, color=factor(X))) + 
    geom_step() + theme_bw() 

Вы можете видеть на графике выше, что кумулятивные функции распределения не являются монотонными. Легче видеть, что происходит, если мы будем строить отдельные линии регрессии для каждого из 101 квантилей (то есть 101 значение tau). Функция кумулятивного распределения для Y при каждом X представляет собой вертикальные срезы по нижеприведенному графику. Однако вы можете видеть, что линии регрессии для каждого квантиля часто пересекаются друг с другом, что эквивалентно немонотонности (это слово?) В приведенном выше графике.

Чтобы быть взаимосогласованными, линии регрессии квантиля не должны пересекать друг друга. Как я уже сказал, я не так разбираюсь в квантильной регрессии, но, возможно, ваши данные слишком редки, чтобы получить устойчивые наклоны для каждого квантиля. В частности, единственное значение на левом краю проблематично, но вы не получите монотонных квантов, даже если вы удалите это значение.

ggplot(pred, aes(x=X, y=Y, colour=tau, group=factor(tau))) + 
    geom_point(data=data, aes(X,Y), inherit.aes=FALSE) + 
    geom_line(show.legend=FALSE, alpha=0.7) + 
    scale_colour_gradient2(low="red", mid="yellow", high="blue", midpoint=0.5) + 
    theme_bw()