Документация vue-router не затрагивает эту тему.Vue.js: поддомены vue-router
Возможно, мое ожидание того, что vue-router может это иллюстрирует фундаментальное непонимание моего вопроса о том, как работают субдомены.
Может ли это быть обработано vue-router, и если да, то как, а если нет, почему бы и нет?
Нет, это невозможно.
vue-router использует history.pushState, что не позволяет вам изменить происхождение. Цитата из документов:
Новый URL-адрес должен иметь тот же источник, что и текущий URL; в противном случае pushState() выдаст исключение.
Другими словами - vue-router это на стороне клиента маршрутизатор, и вы не можете изменить субдомен на стороне клиента (в браузере) без перезагрузки страницы.