Поиск ассоциированного собственного вектора в Matlab

Question

Для этой проблемы, я думаю, что я получил большую часть кода правильно. Однако правильный собственный вектор содержит отрицательные значения того, что у меня есть.

Инструкции:

Мой код:

clear all; close all; 

M = [0 1/4 1/4 0 0 0 0 0 0 0; 
    1/2 0 1/4 1/4 1/6 0 0 0 0 0; 
    1/2 1/4 0 0 1/6 1/4 0 0 0 0; 
    0 1/4 0 0 1/6 0 1/2 1/4 0 0; 
    0 1/4 1/4 1/4 0 1/4 0 1/4 1/4 0; 
    0 0 1/4 0 1/6 0 0 0 1/4 1/2; 
    0 0 0 1/4 0 0 0 1/4 0 0; 
    0 0 0 1/4 1/6 0 1/2 0 1/4 0; 
    0 0 0 0 1/6 1/4 0 1/4 0 1/2; 
    0 0 0 0 0 1/4 0 0 1/4 0]; 

[Y, Z] = eig(M) % pull the first column of T 

A8 = Y(:,1) % P 

M*A8 % check 

save ('A8.dat', 'A8', '-ascii') 

Я использую,

[Y, Z] = eig(M) 

найти соответствующий собственное 1 в Z с соответствующим собственным вектором из Y. Это дает P (или A8):

0.1667 
0.3333 
0.3333 
0.3333 
0.5000 
0.3333 
0.1667 
0.3333 
0.3333 
0.1667 

И когда я умножаю M на P, я получаю P, который проверяет. По-видимому, правильные значения должны быть отрицательными значениями того, что я получил. Может кто-нибудь уточнить?

Answer 1

Это поведение верное. Чтобы понять причину, мы должны смотреть на определение собственных векторов (источник: wikipedia):

Собственный вектор или характеристическим вектором квадратной матрицы А является ненулевой вектор v, что при умножении с A, дает скалярный кратный сам по себе. [...] То есть: Av = nv.

, где v является собственным вектором и п является соответствующим собственным значением.

Поскольку эти линейные операции, А * (кВ) = п * (кВ) для любого ненулевого, скалярное к. Это означает, что собственный вектор, умноженный на коэффициент k, будет другим собственным вектором к соответствующему собственному значению.

Matlab выводит нормализованные собственные векторы, то есть их длина (norm(A8)) равна 1. Но все же, как положительная, так и отрицательная версия являются собственными векторами M. Вы можете проверить это, создав отрицательную версию своего результата и умножив ее на P, что снова даст вам отрицательную версию вашего результата.