Поиск «всех решений» x в A.x = b в области конечного поля

Question

Matlab обеспечивает способ нахождения частного решения Ax = b в GF (2^m). Вот ссылка http://www.mathworks.in/help/comm/ref/gflineq.html Но это дает только одно решение. Как найти остальные решения?

Например: A = [1 0 2 0 0 1] в GF (4), b = [0] в GF (4). x = A \ b дает [0 0 0 0 0 0] 'как решение. Я также знаю [0 1 2 3 2 3] ', чтобы быть еще одним решением. Но я не могу получить какое-либо другое решение, кроме всего нуля. Как найти все решения в Matlab?

Answer 1

В общем,

solutioin к матричному уравнению Ах = Ь не должна существовать, и даже если он делает, не нужно быть уникальным. В вашем случае вы знаете, что существует несколько решений. В такой ситуации, у вас есть «частное решение», которое в основном, для любого х, который решает Ах = Ь, и теперь, чтобы получить несколько решений, вы можете продолжать добавлять векторы из нуль-пространства А.

Доказательство:

Пусть x - частное решение, а y - в нулевом пространстве A (любой вектор в Nullspace в порядке). Мы знаем, что Ах = Ь. Мы также знаем Ay = 0. Добавьте их вверх, A (x + y) = b.

---

TL; DR Решение:

Найти нуль-пространства матрицы в GF и добавить любой вектор нуль-пространства для конкретного решения для создания более решений.

Я не использовал его, но there seems to be a code on MATLAB Central, который находит Nullspace матрицы в GF.