Алгоритм относительно ортогональных матриц

Question

Скажем, что у меня есть n-мерная ортогональная матрица, причем некоторые из ее элементов заданы, а остальные неизвестны. Существует ли эффективный алгоритм для обнаружения неизвестных элементов и восстановления всей матрицы (нужно только найти одно решение, если их много, и дает ошибку, когда решение отсутствует)?

Спасибо!

Answer 1

Решение зависит от того, сколько элементов в строке/столбце отсутствует.

• Я вижу два пути, как подойти к этому

1. Макс 1 элемент отсутствующий в строке/столбце

• в этом случае вы можете использовать, что любая строка/столбец ортогональной матрицы является единичным вектором
• поэтому для любых строк/столбцов { a1,a2,a3=??,a4,...,an }
• неизвестный элемент a3=sqrt(1-a1^2-a2^2-a4^2-a5^2-...-an^2)
• если у вас есть более чем один неизвестные элементы в использовании строки столбца и наоборот
• если есть слишком много неизвестных в строке и столбцах одновременно
• , то вам нужно использовать другой подход для что элемент

более 2. затем 1 недостающий элемент

• сначала найти все неизвестные, которые можно найти по Appro ACH 1
• , то вы можете использовать, что Inverse(Q)==Transpose(Q) если Q ортогональна
• так получаем алгебраическую формулу каждого неизвестного элемента от обратного Q
• и сравнить его с транспонированной один
• это создаст одно линейное уравнение

• делать это для всех неизвестных и решить систему

   a11 a12  a13 
  Q = a21 a22=?? a23=?? 
      a31 a32=?? a33=?? 
  
          a11 a21 a31 
  transpose(Q) = a12 a22=?? a32=?? 
          a13 a23=?? a33=?? 
  
        i11 i12 i13 
  inverse(Q)= i21 i22 i23 
        i31 i32 i33 
  
  det=a11.a22.a33+a21.a32.a13+a31.a12.a23-a11.a32.a23-a31.a22.a13-a21.a12.a33 
  a22=i22=(a11.a33-a13.a31)/det 
  a32=i23=(a13.a21-a11.a23)/det 
  a23=i32=(a12.a31-a11.a32)/det 
  a33=i33=(a11.a22-a12.a21)/det 
  

• это должно быть разрешима ...

• если нет, то вы можете добавить уравнения из пули 1
• если еще нет, то либо решения не может найти или вам нужно использовать другой подход

Перед вычисления вам следует проверить в первую очередь, если |elements| не слишком большой

• так просуммировать все известные элементы^2 в строке/столбце и результат должен быть <=1
• если нет, то это не ортогональная матрица ...
• для получения дополнительной информации см Orthogonal matrixes (Wiki)

3. если у вас есть элемент = 1,0

• то все элементы этой строки/столбца будет равна нулю