Генерация гауссовой волны с заданной центральной частотой

Question

Формула для гауссовой волны равна 1/[sqrt (2 * pi * variance)] * exp {- [(x-xo).^2/(2 * variance)] };

У меня есть этот вопрос в 3-х частей:

1) Как генерировать Gaussian сигнал во временной области с заданной центральной частотой.

(я пытался контролировать, изменяя «дисперсии» значение, но это метод проб и ошибок. Есть ли другой простой способ добиться этого.)

2) Моя вторая проблема заключается в определении его частотный спектр.

(я произвожу гаусс сигнала во временной области и взял ее преобразование Фурье с помощью быстрого преобразования Фурье. Проблема заключается в том, что все частоты распределены вокруг нуля герц, а не быть вокруг центральной частоты.)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
% test for gausssian signal ; Time to Freq 
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
dt=.0001; 
fs=1/dt; %sampling frequency 
fn=fs/2; 
n=1000; 
t=dt*(-n/2:n/2); %time base 

sigma=0.001;  variance=sigma^2; 

xt=1/(sqrt(2*pi*variance))*(exp(-t.^2/(2*variance))); 
subplot(2,1,1); plot(t,xt,'b'); 
title(['Gaussian Pulse \sigma=', num2str(sigma),'s']); 
xlabel('Time(s)'); ylabel('Amplitude'); 

xf = fftshift(fft(xt)); 
f = fs*(-n/2:n/2)/(n/2); %Frequency Vector 
subplot(2,1,2); plot(f,xf.*conj(xf),'r'); title('Magnitude of FFT');  
xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Magnitude |X(f)|'); 

3) В качестве обратного упражнения я определил частотный спектр вокруг заданной частоты и затем оценил амплитудный спектр. Я менял центральную частоту f0 и обнаружил, что ширина импульса не меняется. Где, как в принципе, ширина должна была измениться, если более высокие частоты вносят свой вклад.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
% test for gausssian signal ; Freq --> Time --> Freq 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
clc; clear all; 

dt=0.001; 
fs=1/dt; %sampling frequency 
fn=fs/2; 
n=200; % provide a even no 

f=1/dt*(-n/2+1:n/2-1)/(n/2); %time base 

f0=800 ; % properties of source: position 
sigma=20;  % properties of source: width 
variance = sigma^2; 

xf=1/(sqrt(2*pi*variance))*(exp(-((f-f0).^2/(2*variance)))); 
figure(1); subplot(3,1,1); plot(f,xf,'b'); 
title(['Gaussian Pulse \sigma=', num2str(sigma),'s']); 
xlabel('Freq'); ylabel('Amplitude'); 

xt=fftshift(ifft(xf)); 
t=1/fs*(-n/2+1:n/2-1)/(n/2); 
subplot(3,1,2); plot(t,xt.*conj(xt),'b'); 
xlabel('Time(s)'); ylabel('Amplitude'); 

xtf=(fft((fftshift(xt)))); 
subplot(3,1,3); plot(f,xtf.*conj(xtf),'b'); 
xlabel('Freq'); ylabel('Amplitude') 

Answer 1

Как я указал в этом post, чтобы модулировать гаусс импульс к более высокой частоте (и сохранение сигнала вещественный) необходимо умножить сигнал на cos(2*pi*t*f0):

dt=.0001; 
fs=1/dt; %sampling frequency 
fn=fs/2; 
n=1000; 
t=dt*(-n/2:n/2); %time base 

sigma=0.001;  variance=sigma^2; 

f0 = 1000; 
xt=cos(2*pi*t*f0) .* (exp(-t.^2/(2*variance)))/sqrt(2*pi*variance); 
subplot(2,1,1); plot(t,xt,'b'); 
title(['Gaussian Pulse \sigma=', num2str(sigma),'s']); 
xlabel('Time(s)'); ylabel('Amplitude'); 
axis([-0.02 0.02]); 

xf = fftshift(fft(xt)); 
f = fs*(-n/2:n/2)/n; %Frequency Vector 
subplot(2,1,2); plot(f,abs(xf),'r'); title('Magnitude of FFT');  
xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Magnitude |X(f)|'); 

Какой должен быть результат, аналогичный: