Вертикального движения по окружности: время (х/у) по сравнению с уравнением скорости

Question

Я хотел смоделировать следующий с помощью анимации:
Мяча начинается с определенной скоростью на дне наиболее точкой
вертикальная круглая петлю и держит прокатки в до его скорости.

Для этого я хотел найти уравнение скорости/х/у по времени.
. если мяч имел массу: 5 кг, радиус круговой петли = 10 м,
и начальная скорость шара 200 м/с, какова будет его скорость и (x, y) позиция
через 5 секунд?

спасибо.

Answer 1

скольжения, трения случай с шариковой частиц

В этом случае мы не беспокоимся о вращательной энергии и предполагаем, что шар на самом деле является точечной частицей. Затем, для того, чтобы мяч, чтобы остаться в верхней части, центростремительная условие силы должно быть удовлетворено:

m * v_top^2/r = m * g 

так

v_top = sqrt(r * g) 

Таким образом, минимальная начальная скорость определяется:

1/2 * m * v0^2 >= 1/2 * m * v_top^2 + m * g * 2 * r 

v0 >= sqrt(5 * r * g) 

Это похоже на то, что сказал Пит, за исключением того, что он забыл о состоянии центростремительной силы, чтобы оставаться на вершине.

Далее, ускорение по касательной к дорожке определяется по формуле:

a = - g * sin(theta) 

но a = r * alpha = r * d^2(theta)/dt^2, где альфа ускорение вращения. Таким образом, мы получаем

r * d^2(theta)/dt^2 = g * sin(theta) 

Однако, я не знаю аналитического решения этого дифференциального уравнения и Mathematica спотыкался с нахождением тоже. Вы не можете просто переместить dt s на другую сторону и интегрировать, потому что theta является функцией t. Я бы рекомендовал решить его с помощью численных средств, таких как Runga-Kutte или, возможно, Verlet method. Я решил его использовать Mathematica для параметров, которые вы дали, но с быстрым движением шара он не сильно замедляет движение. Однако, когда я понизил начальную скорость, я смог увидеть ускорение и замедление, построив тэта как функцию времени.

Добавление других вещей, таких как конечный радиус шара, вращательная энергия и трение, безусловно, выполнимы, но я буду беспокоиться о возможности решить этот первый случай, прежде чем двигаться дальше, потому что он только усложняется отсюда. Кстати, с трением вам придется выбрать какой-то кинетический коэффициент трения для ваших данных, который, конечно же, будет пропорционален нормальной силе, действующей на шар по треку, который можно решить, суммируя составляющие силы вдоль радиус круга и не забудьте включить условие центростремительной силы.

Если вы еще не делали такого рода физику, я определенно рекомендую получить вступительную книгу о физике (с исчислением) и проработать ее. Вам нужно только беспокоиться о разделах, которые применяются к механике, хотя это, вероятно, очень большая часть книги. Там могут быть лучшие маршруты, чтобы преследовать, хотя некоторые из ресурсов в this question.

Answer 2

Если нет ускорение (x,y) =(xstart+ vx*time ,ystart + vy*time) и скорость остаются прежними, и это не связано с радиусом

Answer 3

Вы ничего о том, как вы хотите, чтобы ваша скорость, чтобы изменить не сказать. У вас есть какая-либо модель трения? Если нет трения, то формулы просты:

length = velocity*t 
x = sin(length)*radius 
y = -cos(length)*radius 

Если скорость меняется, то вы должны изменить длину на что-то вроде

length = integral over dt[0..t] (velocity dt) 

Answer 4

Поскольку скорость постоянна вы будете иметь угловая скорость omega = vel/radius. Вы получите, сколько radians ваш шар будет двигаться в секунду по круговой траектории.

Чтобы получить позицию во время t вы просто должны использовать полярные координаты:

x = x_center + sin(3/2*PI + omega*t)*radius 
y = y_center + cos(3/2*PI + omega*t)*radius 

это потому, что вы начинаете с нижней точки окружности (так его 3/2*PI) плюс сколько радиантах вы двигаетесь каждый второй (мы получили его по тангенциальной скорости). Все умножаются на радиус, иначе вы будете рассматривать круг единства.

EDIT: Поскольку вы задаетесь вопросом, как найти позицию объекта, подверженного множеству разных сил, я могу сказать вам, что обычно физическому двигателю не нужно находить уравнения движущихся объектов. Он просто применяет силы к объектам с учетом их предполагаемых движений (например, круговой) или факторов окружающей среды (например, силы тяжести или трения) и вычисляет координаты шаг за шагом, применяя силы и используя интегратор для просмотра результатов.

Answer 5

Игнорирование трения, силы на шаре - сила тяжести и трек.

Во-первых, есть два основных случая - это достаточно для шара цикличным в петле или не скорость:

initial energy = 1/2 m v² = 0.5 * 5 * 200 * 200 

potential energy = m g h = 5 * 9.8 * 20 

так будет объехать весь цикл.

Изначально мяч находится в нижней части петли, тета = 0

Ускорение на шаре является компонентом г вдоль дорожки

a = g⋅sin theta 

Расстояние, пройденное это тета * радиус.Это также двойной интеграл от ускорения от времени.

theta ⋅ radius = double integral of acceleration against time 

Интеграция ускорения, когда-то дает скорость, интегрирующая скорость дает расстояние.

так решить эту проблему за т:

theta ⋅ r = ∫(∫ g⋅sin theta.dt).dt 

тогда ваш х и у являются тривиальными функциями тета.

Решите ли вы его аналитически или численно, зависит от вас.

С динамическим трением трение обычно пропорционально нормальной силе на телах. Таким образом, это будет равна центростремительной силы - пропорциональной квадрату угловой скорости, и компонент тяжести нормали к дорожке (г грех тета)

Answer 6

Единственное, что я хотел добавить, это если это настоящий шар (сфера) массой 5 ​​кг, то он должен иметь диаметр dia=(6*m/(PI*rho))^(1/3), где rho - плотность материала. Для стали (rho = 7680) диаметр dia = 0,1075 метра. Поэтому радиус шага (радиус, на котором находится центр тяжести шара), равен R=10-(dia/2) или R = 9,9466 метров.

Проблема становится немного сложнее при включении трения. Для одного вы должны рассмотреть направление трения (предполагая теорию сухого трения). Это зависит от величины шара, вращающегося по его оси, и зависит от момента инерции шара.

Когда вы выполняете симуляцию, вы можете отслеживать общую кинетическую энергию полной потенциальной энергии и следить за тем, чтобы вы не добавляли энергию в систему (или убирали). [Не забудьте включить вращательную составляющую для кинетической энергии]

Получите стандартную книгу по динамике, и я уверен, что подобная проблема уже описана в книге. Я бы порекомендовал «Векторный механик для инженеров - динамика» ».