Оптимизация геодезических расстояний на треугольной сетке

Question

У меня есть выпуклая триангулированная сетка. Я могу численно вычислить геодезические между точками на поверхности; однако у меня возникли проблемы с решением следующей проблемы:

Представьте, что сетка размещена над сеткой. Внешняя граница сетки совпадает с границей сетки, но узлы сетки, соответствующие внутренней части сетки, позволяют свободно перемещаться. Мне интересно найти конфигурацию, которая будет иметь наименьший стресс (я знаю расстояния для состояния покоя сети).

Выполнение этого на гладкой поверхности достаточно просто, как я мог бы решить для напряжений в терминах позиций узлов сети; однако я не вижу способа вычисления напряжений в терминах положения сетевых узлов, потому что я не знаю, что существует формула для геодезических на выпуклой триангулированной поверхности.

Я надеюсь, что есть альтернативный метод решения этого вопроса, такой как аргумент с фиксированной точкой.

Answer 1

Подсказка:

Если я прав, пока узел остается внутри поверхности, то уравнения являются линейными (так же, как если узел был на самолете). Предполагая некоторое соответствие между узлами и гранями, вы можете решить для равновесия, как если бы узлы принадлежали к соответствующим плоскостям поддержки, не ограниченным границами лица.

Затем для узлов, которые находятся снаружи лица, вы можете проецировать их на поверхность и получить лучшее назначение лица. Надеемся, что этот процесс может сходиться к устойчивому решению.

На рисунке показано решение после первого ориентировочного назначения узла/лица, затем второе после проецирования/переназначения.

---

На второй мысли, проблема еще сложнее, поскольку вычисление включает в себя геодезические расстояния между узлами, которые зависят от граней, которые проходятся. Таким образом, область, в которой выполняется линейность при перемещении одного узла, даже меньше, чем лицо, она также ограничена «клиньями», исходящими из выровненных узлов и не содержащими других вершин.

Тогда вам, возможно, придется вычислить домены, где геодезические расстояния к связанному соседу являются линейной функцией координат и проектировать на это разбиение поверхности. Похоже на попытку.