выборка 2-мерная поверхность: сколько точек образца вдоль осей X и Y?

Question

У меня есть набор первых 25 Zernike polynomials. Ниже в координатной системе Cartesin показано несколько.

z2 = 2*x 

z3 = 2*y 

z4 = sqrt(3)*(2*x^2+2*y^2-1) 

:

:

z24 = sqrt(14)*(15*(x^2+y^2)^2-20*(x^2+y^2)+6)*(x^2-y^2) 

Я не использую 1-го, так как он является поршень; поэтому у меня есть эти 24 двумерные АНАЛИТИЧЕСКИЕ функции, выраженные в декартовой системе координат X-Y. Все они определены по единице окружности, так как они ортогональны по единичной окружности. Проблема, которую я описываю здесь, имеет отношение и к другим двумерным поверхностям, кроме полиномов Цернике.

Предположим, что начало координат (0,0) системы координат XY и центр единичного круга одинаковы.

Далее я беру линейную комбинацию этих 24 полиномов для построения формы двумерного волнового фронта. В этой комбинации я использую 24 случайных входных коэффициента.

w(x,y) = sum_over_i a_i*z_i   (i=2,3,4,....24) 

a_i = random coefficients 
z_i = zernike polynomials 

Эта точка зрения - все это аналитическая часть, которая может быть сделана на бумаге.

Теперь идет дискретизация!

Я знаю, что когда вы хотите перестроить сигнал (1Dim/2Dim), ваша частота дискретизации должна быть как минимум в два раза максимальной частоты, присутствующей в сигнале (принцип Найквиста-Шанона).

Здесь сигнал w (x, y), как указано выше, представляет собой не что иное, как простое 2Dim функция от x & y. Я хочу представить его на компьютере сейчас. Очевидно, я не могу взять все бесконечные точки от -1 до +1 вдоль оси х и то же самое для оси y. Я должен принять конечный нет. точек данных (которые называются точками выборки или только образцы) на этой аналитической поверхности 2 dim ш (х, у)

Я измерения X & у в метрах, и -1 = < < х = + 1; -1 < = y < = +1.

например. Если я делю свою ось х от -1 до 1, в 50 точках выборки, то dx = 2/50 = 0,04 метра. То же самое для оси y. Теперь моя частота дискретизации составляет 1/dx, т.е. 25 выборок на метр. То же самое для оси y.

Но я взял 50 образцов произвольно; Я мог бы взять 10 образцов или 1000 образцов. В этом суть вопроса: сколько пробных точек? Как я могу определить это число?

Существует одна теорема (теорема Найквиста-Шанона), упомянутая выше, в которой говорится, что если я хочу точно построить w (x, y), я должен пробовать ее по обеим осям так, чтобы моя частота дискретизации (т.е. образцов на метр), по крайней мере, вдвое превышает максимальную частоту, присутствующую в w (x, y). Это не что иное, как найти энергетический спектр w (x, y). Идея состоит в том, что любая функция в пространственной области также может быть представлена ​​в пространственно-частотной области, что не что иное, как преобразование Фурье функции! Это говорит нам, сколько (пространственных) частот присутствует в вашей функции w (x, y) и какая максимальная частота из этих многих частот.

Теперь мой вопрос первый, как узнать эту максимальную частоту дискретизации в моем случае. Я не могу использовать MATLAB fft2() или любой другой инструмент, так как это означает, что у меня есть образцы, взятые через волновой фронт!Очевидно, что оставшаяся опция находит ее аналитически! Но это занимает много времени и сложно, так как у меня есть 24 многочлена & Мне придется использовать непрерывное преобразование Фурье, то есть мне придется идти за ручкой и бумагой.

Любая помощь будет оценена по достоинству.

Благодаря

Answer 1

Основные Предположения

• Вы хотите использовать "Найквиста-Shanon" теорему для определения частота дискретизации

Очевидно оставшийся вариант найти аналитически! Но это время потребляющих и трудных, так как у меня есть 21 полином & Я должен использовать непрерывное преобразование Фурье, то есть сделанное аналитически.

Учитывая предположение, я сделал (и отмечая, что рассмотрение других математических методов является out of scope for StackOverflow), у вас нет выбора, кроме как вычислить преобразование Фурье непрерывный.

Однако, я считаю, что вы не рассмотрели все варианты расчета преобразования, отличного от трудоемкого бумажного упражнения, например.

• Численное приближение непрерывного F.T. с использованием кода
• Символическая интеграция, например. Wolfram Alpha

Несомненно, численное приближение преобразования Фурье будет подходящим для вашего решения?

Я предполагаю, что это за курсовые или исследования, а, поэтому все, что вы действительно заботитесь о качестве физик являются решением, которое является быстрым решения, которое является точными в пределах вашей проблемы.

Так заключить, ИМХО, не тратить время на поиски более математически элегантное решение или трюк и просто решить проблему с одним из указанных выше способов