Инвертирование матрицы любого размера

Question

Я использую GNU Scientific Library в реализации калькулятора, который должен иметь возможность поднять матрицы до степени. К сожалению, не существует такой функции, доступной в GSL для матриц с равномерным умножением (функция gsl_matrix_mul_elements() умножается только с использованием процесса добавления), и, следовательно, не может быть увеличена до степени.

Я хочу, чтобы иметь возможность поднять до отрицательных мощностей, что требует способности принимать обратные. Из моего поиска я не смог найти звуковой код для вычисления инверсий произвольных матриц (только те из них с определенными размерами), а направляющие, которые я нашел для этого, вручную использовали умные «бумажные трюки», которые не Я действительно работаю в коде.

Есть ли общий алгоритм, который может быть использован для вычисления инверсии матрицы любого размера (если, конечно, невозможно вычислить инверсию)?

Answer 1

Как указано в комментариях, мощность матриц может быть вычислена для квадратных матриц для целых показателей. n мощность A: A^n = A*A*...A, где An раз. Если B является инверсией A, то мощность -nA равна A^(-n) = (A^-1)^n = B^n = B*B*...B.

Так что для того, чтобы вычислить n силы из A я могу предложить следующий алгоритм с помощью GSL:

gsl_matrix_set_identity();   // initialize An as I 
for(i=0;i<n;i++) gsl_blas_dgemm(); // compute recursive product of A 

Для вычисления B матрицы можно использовать следующее рутинное чтение

gsl_linalg_LU_decomp();  // compute A decomposition 
gsl_linalg_complex_LU_invert // comput inverse from decomposition 

Answer 2

Я рекомендую около SVD, который реализует gsl. Если ваша матрица обратима, то вычисление ее через SVD - неплохое, хотя и несколько медленное, путь. Если ваша матрица не обратима, SVD позволяет вычислить следующую лучшую вещь, generalised inverse.

В вычислениях матрицы ошибки, присущие арифметике с плавающей запятой, могут накапливаться. Одним из примеров является Hilbert matrix, невинно выглядящая вещь с замечательно большим количеством условий, даже для довольно умеренного размера. Хорошим испытанием для процедуры инверсии является просмотр того, насколько велика матрица Гильберта, которую она может инвертировать, и насколько близки вычисленные расчетные обратные моменты матрицы к тождеству.