Периодические граничные условия - конечные разности

Question

Привет У меня есть код ниже, который решает нелинейные связанные PDE. Однако мне нужно реализовать периодические граничные условия. Периодические граничные условия беспокоят меня, что я должен добавить в свой код для обеспечения периодических граничных условий? Обновлено на основе модульных арифметических предложений ниже.

Примечание: t> = 0 и x находится в интервале [0,1]. Вот спаренные уравнения, ниже я приведу мой код

где а, Ь> 0.

Таковы начальные условия, но теперь мне нужно наложить периодические граничные условия. Они могут быть математически записаны как u (0, t) = u (1, t) и du (0, t)/dx = du (1, t)/dx, то же самое верно для f (x, t). Действительно, du/dx I для граничных условий являются частными производными.

Мой код ниже

program coupledPDE 

integer, parameter :: n = 10, A = 20 
real, parameter :: h = 0.1, k = 0.05 
real, dimension(0:n-1) :: u,v,w,f,g,d 
integer:: i,m 
real:: t, R, x,c1,c2,c3,aa,b 

R=(k/h)**2. 
aa=2.0 
b=1.0 
c1=(2.+aa*k**2.-2.0*R)/(1+k/2.) 
c2=R/(1.+k/2.) 
c3=(1.0-k/2.)/(1.0+k/2.) 
c4=b*k**2./(1+k/2.) 


do i = 0,n-1 !loop over all space points except 0 and n 
    x = real(i)*h  
    w(i) = z(x) !u(x,0) 
    d(i) = z(x) !f(x,0) 
end do 


do i=0,n-1 
    ip=mod(i+1,n) 
    il=modulo(i-1,n) 
    v(i) = (c1/(1.+c3))*w(i) + (c2/(1.+c3))*(w(ip)+w(il)) -(c4/(1.+c3))*w(i)*((w(i))**2.+(d(i))**2.) !\partial_t u(x,0)=0 
    g(i) = (c1/(1.+c3))*d(i) + (c2/(1.+c3))*(d(ip)+d(il)) -(c4/(1.+c3))*d(i)*((w(i))**2.+(d(i))**2.) !\partial_t f(x,0)=0 
end do 

do m=1,A 

    do i=0,n-1 
     ip=mod(i+1,n) 
     il=modulo(i-1,n) 
     u(i)=c1*v(i)+c2*(v(ip)+v(il))-c3*w(i)-c4*v(i)*((v(i))**2.+(g(i))**2.) 
     f(i)=c1*g(i)+c2*(g(ip)+g(il))-c3*d(i)-c4*g(i)*((v(i))**2.+(g(i))**2.) 
    end do 
    print*, "the values of u(x,t+k) for all m=",m 
    print "(//3x,i5,//(3(3x,e22.14)))",m,u 

    do i=0,n-1 
    w(i)=v(i) 
    v(i)=u(i) 
    d(i)=g(i) 
    t=real(m)*k 
    x=real(i)*k 
    end do 

end do 


end program coupledPDE 

function z(x) 
real, intent(in) :: x 
real :: pi 
pi=4.0*atan(1.0) 
z = sin(pi*x) 
end function z 

Спасибо за чтение, если я переформатировать мой вопрос в более правильном пути, пожалуйста, дайте мне знать.

Answer 1

Одним из вариантов граничных условий в дискретизации PDE является использование призрачных (гало) ячеек (точек сетки). Он может быть не самым умным для периодического ВС, но он может использоваться для всех других типов граничных условий.

Таким образом, вы объявлять массивы

real, dimension(-1:n) :: u,v,w,f,g,d 

но решить PDE только в точках 0..n-1 (точка п совпадает с точкой 0). Вы также можете сделать из 1..n и объявить массивы формы 0..n + 1.

Затем вы устанавливаете

u(-1) = u(n-1) 

и

u(n) = u(0) 

и то же самое для всех других массивов.

На каждом временном шаге вы установите снова u и f или все другие поля, которые модифицированы в процесс решения:

do m=1,A 
    u(-1) = u(n-1) 
    u(n) = u(0) 
    f(-1) = f(n-1) 
    f(n) = f(0) 

    do i=0,n-1 !Discretization equation for all times after the 1st step 
     u(i)=... 
     f(i)=... 
    end do 
end do 

Все выше предполагаются явная временная дискретизацией и пространственная дискретизация с конечными разностями и предполагается, что x(0) = 0 и x(n) = 1 - ваши граничные точки.