В pari-gp, как найти примитивный элемент конечного поля?

Question

Скажите, я хочу конечное поле, содержащее q^n элементов для некоторых prime q и positive n. Как до получить его примитивный элемент?

Answer 1

Вы можете получить некоторый примитивный элемент со следующим кодом:

var = 'x; \\ sets a variable in the polynomial representation of finite field 
f = ffgen(ffinit(q, n)); \\ GF(q^n) ~ GF(q)[x]/<f(x)>. Note `f` is just an irreducible 
a = ffprimroot(f); \\ gets a root `a` of `f` 
poly = minpoly(a, var); \\ finds a minimal polynomial for `a` 
primitive_elt = ffgen(poly, var); \\ finds a root of the minimal polynomial 

\\ assertion: check the order 
fforder(primitive_elt) == q^n-1 

Отметим, что конечное поле может иметь некоторые примитивные элементы. Вышеприведенный код находит случайным. Пожалуйста, обратите внимание, что приведенный выше код предполагает n> 1. В противном случае сработает функция minpoly (протестирована с PARI/GP 2.7.2 32-бит).