Определение ввода функции при заданном выходе (Исчисление)

Question

Учитель моего исчисления дал нам программу для вычисления определенных интегралов заданного интервала с использованием трапецеидального правила. Я знаю, что запрограммированные функции берут входные данные и производят вывод как арифметические функции, но я не знаю, как сделать обратный: найдите вход, заданный на выходе.

Проблема гласит:

«Использование трапеций с различным числом п, приращений оценить расстояние, пройденное от Т = 0 до Т = 9 Найти число D, для которых трапециевидной сумма находится в пределах. 0,01 единицы этого предела (468) при n> D. "

Я оценил предел через «подключи и пыхтение» с калькулятором, и я знаю, что с регулярной алгебраической функции, я мог бы легко сделать:

предел (468) = алгебраическое выражение с переменной х (затем решить для x)

Однако, как бы я сделал это для запрограммированной функции? Как определить ввод запрограммированной функции с заданным выходом?

Я вычисляю определенный интеграл для многочлена (x^2 + 11x + 28)/(x + 4) между интервалом 0 и 9. Функция трапеции в правиле вычисляет определенный интеграл между интервал 0 и 9 с использованием заданного числа трапеций, n.

В целом, я хочу знать, как это сделать:

Решите для п: 468 = trapezoidal_rule (а = 0, Ь = 9, п);

Код для trapezoidal_rule (а, б, п) на моем TI-83: ​​

Prompt A 
Prompt B 
Prompt N 
(B-A)/N->D 
0->S 
A->X 
Y1/2->S 
For(K,1,N-1,1) 
X+D->X 
Y1+S->S 
End 
B->X 
Y1/2+S->S 
SD->I 
Disp "INTEGRAL" 
Disp I 

Потому что я не знаком с этим синтаксисом и я не знаком с компьютерными алгоритмами, я надеялся, что кто-то мог помогите мне превратить этот код в алгебраическое уравнение или указать мне в этом направлении.

Edit: Это не является частью моей домашней-только любознательность

Answer 1

многочлен (х^2 + 11x + 28)/(х + 4)

Это равно к х + 7. Трапецеидальное правило должно давать точно правильно результаты для этой функции! Я предполагаю, что на самом деле это не функция, с которой вы работаете ...

Нет общего способа определить, с учетом выхода функции, каким был ее вход. (Во-первых, многие функции могут отображать несколько разных входов на один и тот же вывод.)

Итак, существует формула ошибки, когда вы применяете правило трапеции с заданным количеством шагов к данной функции, и вы может использовать это здесь, чтобы выработать значение n, которое вам нужно ... но (1) это не ужасно красиво, и (2) не кажется очень разумным ожидать от вас, когда вы только начинаете чтобы посмотреть на трапецеидальное правило. Я бы предположил, что ваш учитель на самом деле просто хотел, чтобы вы «подключились и кусили».

Я не знаю (см. Выше), какую функцию вы фактически интегрируете, но давайте притворимся, что это просто x^2 + 11x + 28. Я назову это f (x) ниже.Интеграл от 0 до 9 фактически равен 940,5. Предположим, вы разделите интервал [0,9] на n частей. Тогда трапециевидное правило дает вам: [f (0)/2 + f (1 * 9/n) + f (2 * 9/n) + ... + f ((n-1) * 9/n) + f (9)/2] * 9/n.

Отделим это на вклады от x^2, из 11x и из 28. Оказывается, что трапецеидальное приближение дает ровно правильный результат для последних двух. (Упражнение: выясните, почему.) Итак, ошибка, которую вы получаете из правила трапеции, точно такая же, как и ошибка, которую вы получили от f (x) = x^2.

Действительный интеграл от x^2 от 0 до 9 равен (9^3-0^3)/3 = 243. Трапецеидальное приближение равно [0/2 + 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 + n^2/2] * (9/n)^2 * (9/n). (Упражнение: выясните, почему.) Существует стандартная формула для сумм последовательных квадратов: 1^2 + ... + n^2 = n (n + 1/2) (n + 1)/3. Таким образом, наше трапецеидальное приближение к интегралу от х^2 равно (9/п)^3 раза [(п-1) (п-1/2) п/3 + п^2/2] = (9/п) 3 раза [n^3/3 + 1/6] = 243 + (9/n)^3/6.

Иными словами, ошибка в этом случае равна точно (9/n)^3/6 = (243/2)/n^3.

Так, например, погрешность будет меньше 0,01, когда (243/2)/n^3 < 0,01, что совпадает с n^3> 100 * 243/2 = 12150, что верно, когда n> = 23.

[EDITED добавляет: я не проверял ни одну из моих алгебр или арифметики; могут быть небольшие ошибки. Я понимаю, что вас интересуют идеи, а не конкретные цифры.]