Аналитический метод расчета угла зеркала

Question

У меня в трехмерном пространстве фиксированный луч света Lr и зеркало M, которое может вращаться вокруг неподвижной точки Mrot, эта точка находится не на одной плоскости зеркала, другими словами, зеркальная плоскость касается шара с центром в Mrot с фиксированным радиусом d. С этой конфигурацией я хочу найти уравнение, которое получает точку P в качестве параметра и приводит к вращению зеркала в трехмерном пространстве.

Мы можем считать, что зеркальная плоскость не имеет границ (бесконечная плоскость), и ее вращение не имеет пределов. Кроме того, зеркало отражается только на противоположной стороне его точки вращения.

В картине два случая с другой точки входа P1 и P2, с углами alpha1 и alpha2 их соответствующее решение. Изображения находятся в 2D, чтобы упростить чертежи, реальный случай находится в 3D.

В данный момент я вычисляю пересечение с зеркальной плоскостью в случайном вращении, затем вычисляю отражение луча и вижу, насколько далеко от точки (P), которую я хочу достичь. Наконец, итерация с некоторым условием изменяет вращение, пока оно не будет соответствовать.

Очевидно, что это перебор, но я не могу понять, как его кодировать аналитическим способом.

Любые мысли?

Примечание: Я заметил, что если зеркало вращается вокруг точки (Mrot), содержащейся в ее плоскости, и луч света достигает этой точки (Mrot), я могу легко вычислить угол зеркала, но, к сожалению, это не мой случай ,

Answer 1

Прежде всего заметим, что существует только один параметр здесь, то есть расстояние t вдоль луча при котором он попадает в зеркало.

Для любого тестового значения t, вычислить в порядке

1. Точка, в которой происходит отражение.
2. Векторы инцидента и отраженных лучей.
3. Нормальный вектор зеркала, который определяется путем принятия среднего нормализованного инцидентного и отраженного векторов. Вместе с 1 вы теперь знаете плоскость зеркала.
4. Расстояние d зеркала к точке поворота.

Проблема заключается в выборе t, чтобы сделать d. Это сводится к октическому полиному в t, поэтому нет аналитической формулы ^[1] и единственным решением является итерация. ^[2]

Вот пример кода:

vec3 r; // Ray start position 
vec3 v; // Ray direction 
vec3 p; // Target point 
vec3 m; // Mirror rotation point 

double calc_d_from_t(double t) 
{ 
    vec3 reflection_point = r + t * v; 
    vec3 incident   = normalize(-v); 
    vec3 reflected  = normalize(p - reflection_point); 
    vec3 mirror_normal = normalize(incident + reflected); 
    return dot(reflection_point - m, mirror_normal); 
} 

Теперь передайте calc_d_from_t(t) = d в ваш любимый корневой искатель, обеспечивая, чтобы найти корень с t > 0. Любой полупристойный корневой искатель (например, Newton-Raphson) должен быть намного быстрее, чем ваш текущий метод.

---

[1] I.e. формулу, включающую арифметические операции, n-ые корни и коэффициенты.
[2] Если неорганические факторы не идентичны, потенциально уменьшая проблему до квартили.

Answer 2

Я бы сделал это как две отдельные плоские проблемы (один в плоскости xy и второй в плоскости xz или yz).Первое, что поражает мой ум это итеративный процесс:

1. начало

   • зеркало вращается вокруг МРОТ в постоянном расстоянии создания круга (сфера в 3D)
   • так вычислить первое пересечение Lr и сферы
   • или найти ближайшую точку на сфере до Lr, если перекресток не найден
   • вычислить n0 нормальных как половина угла между Lr и красной линией от пересечения к P
   • этого зеркало начальной позиция

2. место зеркала (аква) до n0 угла

   • вычислить отражение Lr
   • и вычислить половинный угол da0 Это шаг для новой итерации

3. добавить da0 к n0 углу и место зеркала к этому новому положению угла

   • вычислений отражения Lr
   • и вычислить половину угла da1 это шаг для новой итерации

4. петлевая пуля 3 до

   • da(i) достаточно мал
   • максимальное число итераций достигнуто

[Примечания]

• Это должно сходиться в раствор более быстро, то случайное/линейное зондирование
• чем более отдаленный P от зеркала (или меньшего радиуса вращения), тем быстрее сходится
• Не уверен, что если аналитическое решение этой проблемы вообще существует, похоже, что это приведет к трансцендентной системе ...