Вероятности двумерной нормально распределенной случайной величины

Question

Я пытаюсь вычислить вероятность двумерного нормального распределения по определенной области с помощью Matlab.

Предположим, что случайная величина соответствует стандартным нормальным распределениям, и я хочу рассчитать массу единичного круга.

Я использовал следующий код:

fun = @(x,y) exp(-0.5*(x.^2+y.^2))/(2*pi); 
ymin = @(x) -sqrt(1-(x.^2)); 
ymax = @(x) sqrt(1-(x.^2)); 
integral2(fun,-1,1,ymin,ymax) 

я получаю 0.3935. Мне интересно, что этот результат правильный.

Может ли кто-нибудь подтвердить, что результат верен или указывает на ошибку, которую я сделал?

Answer 1

Я думаю, что это правильно. Некоторые проверки:

• Объединяют на большой площади и посмотреть, если результат почти 1:

  >> integral2(fun,-5,5,-5,5) 
  ans = 
      0.999998853581851 
  

• 90-процентиль однофакторном гауссовского распределения

  >> norminv(.9) 
  ans = 
      1.281551565544601 
  

  Так , интеграл вашей функции на [−∞,∞] × [−∞,1.281] должен быть 0.9:

  >> integral2(fun,-10,10,-10,norminv(.9)) 
  ans = 
      0.900000750806316 
  

• Окончательное Монте-Карло проверка:

  >> N = 1e6; 
  x = randn(1,N); 
  y = randn(1,N); 
  mean((x>-1)&(x<1)&(y>-sqrt(1-(x.^2)))&(y<sqrt(1-(x.^2)))) 
  ans = 
      0.393678000000000