Как вы определяете граничное условие Неймана (фиксированный поток от нормали к лицу) в Fipy?

Question

Как явным образом установить поток нормали к граничной грани в сетке fipy как конкретное значение, не ограничивая компоненты потока внутри грани?

Граничное условие Неймана может быть определено как: (1) постоянная составляющая потока, нормальная к граничной грани, или (2) как полная спецификация потока на грани. Условие fipy по умолчанию - это первое (значение = 0), но явный метод (faceGrad.constrain) является последним. Эту проблему можно понять, добавив следующий код в конец примера fipy diffusion.mesh20x20 и отметив разные результаты градиента градиента.

facesNeumann = mesh.exteriorFaces & ~facesTopLeft & ~facesBottomRight 
print 'grad(phi) with default Neumann BC...' 
print phi.faceGrad.value.T[facesNeumann.value] 
phi.faceGrad.constrain(0.,facesNeumann) 
DiffusionTerm().solve(var=phi) 
print 'and with explicit Neumann BC...' 
print phi.faceGrad.value.T[facesNeumann.value] 

Answer 1

См. Обсуждение на fixed flux boundary conditions. В принципе, вы добавляете источник, содержащий расхождение желаемого граничного потока, к условию отсутствия потока FiPy по умолчанию.

Answer 2

С точки зрения простого определения потока, нормального к границе для переменной, не зависящей от решения уравнения, похоже, что это не так. Например, синтаксис может быть phi.faceGrad[0].constrain(...), но в настоящее время он не работает в FiPy. Это может быть также трудно реализовать для произвольных ориентированных граней.

Однако для практических целей компонент, касательный к границе, не используется при решении уравнения в FiPy, на его решение влияет только нормальная составляющая. Возьмем, например, следующий код,

import fipy as fp 
mesh = fp.Grid2D(nx=2, ny=1) 
var = fp.CellVariable(mesh=mesh) 
var.constrain(1, mesh.facesLeft) 
var.constrain(0, mesh.facesRight) 
#var.faceGrad.constrain(0, mesh.facesTop) 
fp.DiffusionTerm().solve(var) 
print 'face gradient on top plane:',var.faceGrad[0, mesh.facesTop.value] 
print 'variable value:',var 

Это дает выход

face gradient on top plane: [-0.5 -0.5] 
variable value: [ 0.75 0.25] 

ответ правильный, но верхний градиент лицо -0,5. Тем не менее, когда линия #var.faceGrad.constrain(0, mesh.facesTop) является раскомментировал, результатом является

face gradient on top plane: [ 0. 0.] 
variable value: [ 0.75 0.25] 

Тангенциальная градиент лицо теперь 0, но ответ тот же. Дело в том, что установка градиента лица тангенциально (через .constrain) не влияет на решение.

Answer 3

Обсуждение граничных условий с фиксированным потоком отвечает на мой вопрос, но я не понял документацию, которая очень кратка. Ниже приведен обработанный пример, иллюстрирующий, как применить его в простом 2D-примере, аналогичном примеру mesh20x20.

import matplotlib.pyplot as plt 
from fipy import * 

nx = 20 
ny = nx 
dx = 1. 
dy = dx 
L = dx * nx 
msh = Grid2D(dx=dx, dy=dy, nx=nx, ny=ny) 

xFace, yFace = msh.faceCenters 
xCell,yCell = msh.cellCenters  
phi = CellVariable(name = "solution variable", 
        mesh = msh, 
        value = 0.)  
D = FaceVariable(name='diffusion coefficient',mesh=msh,value=1.) 

# Dirichlet condition on top face 
valueTop = FaceVariable(name='valueTop',mesh=msh,value=xFace*0.1-1) 
phi.constrain(valueTop, msh.facesTop) 

# Fixed flux (Neumann) on base 
D.constrain(0., msh.facesBottom) 
fluxBottom = -0.05 

eq = DiffusionTerm(coeff=D) + (msh.facesBottom * fluxBottom).divergence 
eq.solve(var=phi) 

# confirm only y component of gradient is zero 
print phi.faceGrad.value.T[msh.facesBottom.value] 

plt.scatter(phi.value, yCell) 
plt.show() 

viewer = Viewer(vars=phi, datamin=-1., datamax=1.) 
viewer.plot()