Сдерживающие нормы с неравенствами

Question

У меня есть данные временного ряда для запасов N.

sample.data<-replicate(10,rnorm(1000)), где каждый столбец показывает доходность различных запасов с течением времени.

Я пытаюсь построить вектор веса портфеля, чтобы минимизировать дисперсию возвратов.

целевая функция:

min w^{T}\sum w 
s.t. e_{n}^{T}w=1 
\left \| w \right \|\leq C 

где ш вектор весов, \sum ковариационная матрица, e_{n}^{T} вектор из единиц, C является константой. Где второе ограничение (\left \| w \right \|) является ограничением неравенства.

Я использовал следующий код, чтобы решить эту проблему:

library(Rsolnp) 
gamma<-1 
fn<-function(x) {cov.Rt<-cov(sample.data); return(t(x)%*%cov.Rt%*%x)} #OBJECTIVE FUNCTION TO MINIMIZE 
eqn<-function(x){one.vec<-matrix(1,ncol=10,nrow=1); return(one.vec%*%x)} #EQUALITY CONSTRAINT 
constraints<-1 #EQUALITY CONSTRAINT 
ineq<-function(x){one.vec<-matrix(1,ncol=10,nrow=1); #INEQUALITY CONSTRAINT 
z1<-one.vec%*%abs(x) 
return(z1) 
    } 

uh<-gamma #UPPER BOUND 
lb<-0 #LOWER BOUND 
x0<-matrix(0,10,1) #STARTING PARAMETER VECTOR (NOT SURE WHAT STARTING VALUES TO PUT HERE) 

sol1<-solnp(x0,fun=fn,eqfun=eqn,eqB=constraints, ineqfun=ineq,ineqUB=gamma,ineqLB=lb) 

При выполнении этого кода я получаю следующее сообщение об ошибке:

Error in solve.default(cz,tol = 1e-25) : system is computationally singular: reciprocal condition number = 0 In addition: There were 50 warnings (use warnings() to see the first 50) 

warnings() 
1: In cbind(temp, funv): number of rows of result is not a multiple of vector length 

Любые идеи, что я могу делать неправильно? Есть ли проблема с начальным параметром vector x0?

Answer 1

Я изменил код чуть-чуть:

library(Rsolnp) 
set.seed(1) 
sample.data <- matrix(rnorm(10*1000),ncol=10) 
gamma <- 1 

#OBJECTIVE FUNCTION TO MINIMIZE 
fn <- function(x){ 
    cov.Rt <- cov(sample.data); 
    as.numeric(t(x) %*% cov.Rt %*% x) 
} 
#EQUALITY CONSTRAINT 
eqn <- function(x){ 
    one.vec <- matrix(1, ncol=10, nrow=1) 
    as.numeric(one.vec %*% x) 
} 
constraints <- 1 
#INEQUALITY CONSTRAINT 
ineq <- function(x){ 
    one.vec <- matrix(1, ncol=10, nrow=1); 
    z1<-one.vec %*% abs(x) 
    as.numeric(z1) 
} 

uh <- gamma #UPPER BOUND 
lb <- 0 #LOWER BOUND 
x0 <- matrix(1, 10, 1) #STARTING PARAMETER VECTOR (NOT SURE WHAT STARTING VALUES TO PUT HERE) 

sol1 <- solnp(x0, fun=fn, eqfun=eqn, eqB=constraints) 

Когда мы запустим код выше, мы получаем решение:

Iter: 1 fn: 0.09624  Pars: 0.08355 0.08307 0.10154 0.09108 0.11745 0.12076 0.09020 0.09435 0.10884 0.10918 
Iter: 2 fn: 0.09624  Pars: 0.08354 0.08308 0.10153 0.09107 0.11746 0.12078 0.09021 0.09434 0.10883 0.10918 
solnp--> Completed in 2 iterations 

Но если мы добавим ограничение неравенства в задаче оптимизации, то мы столкнуться с проблемами:

> sol2 <- solnp(x0, fun=fn, eqfun=eqn, eqB=constraints, 
      ineqfun=ineq, ineqUB=gamma, ineqLB=lb) 

Iter: 1 fn: 0.09624  Pars: 0.08356 0.08305 0.10153 0.09111 0.11748 0.12078 0.09021 0.09431 0.10881 0.10916 
solnp-->The linearized problem has no feasible 
solnp-->solution. The problem may not be feasible. 

Iter: 2 fn: 272.5459  Pars: 4.44541 4.42066 5.40272 4.84595 6.25082 6.42718 4.80020 5.02004 5.79138 5.81029 
solnp-->The linearized problem has no feasible 
solnp-->solution. The problem may not be feasible. 

Iter: 3 fn: 272.5459  Pars: 4.44547 4.42070 5.40274 4.84596 6.25078 6.42712 4.80023 5.02006 5.79138 5.81023 
Iter: 4 fn: 0.09624  Pars: 0.08357 0.08304 0.10157 0.09106 0.11744 0.12074 0.09021 0.09432 0.10886 0.10918 
Iter: 5 fn: 0.09625  Pars: 0.08354 0.08308 0.10153 0.09107 0.11747 0.12078 0.09021 0.09434 0.10883 0.10919 
Iter: 6 fn: 0.09717  Pars: 0.08394 0.08347 0.10201 0.09150 0.11803 0.12135 0.09064 0.09479 0.10935 0.10971 
Iter: 7 fn: 0.09624  Pars: 0.08353 0.08307 0.10153 0.09106 0.11747 0.12078 0.09020 0.09433 0.10883 0.10919 
Iter: 8 fn: 0.09624  Pars: 0.08353 0.08307 0.10153 0.09106 0.11747 0.12078 0.09020 0.09433 0.10883 0.10919 
solnp--> Solution not reliable....Problem Inverting Hessian. 
Warning message: 
In p0 * vscale[(neq + 2):(nc + np + 1)] : 
    longer object length is not a multiple of shorter object length 

Давайте попробуем изменить Gamma только немного: gamma <- 1.01

> sol2 <- solnp(x0, fun=fn, eqfun=eqn, eqB=constraints, 
      ineqfun=ineq, ineqUB=gamma, ineqLB=lb) 
Iter: 1 fn: 0.09624  Pars: 0.08355 0.08307 0.10153 0.09108 0.11745 0.12076 0.09020 0.09435 0.10884 0.10918 
Iter: 2 fn: 0.09624  Pars: 0.08354 0.08308 0.10153 0.09107 0.11746 0.12078 0.09021 0.09434 0.10883 0.10918 
solnp--> Completed in 2 iterations 

Таким образом, ваше неравенство ограничение, кажется, является обязательным именно вокруг ограничения равенства. Также, глядя на два ограничения вместе, мне кажется немного странным. Я предполагаю, что вы, вероятно, неправильно указали свое неравенство в неравенстве и просто хотите что-то вроде ограничения короткого замыкания, например. весом от 0 до 1. Это может быть архивировано по вашему методу:

ineq <- function(x){ return(x) } 
uh <- rep(gamma, 10) #UPPER BOUND 
lb <- rep(0, 10) #LOWER BOUND 
sol3 <- solnp(x0, fun=fn, eqfun=eqn, eqB=constraints, ineqfun=ineq, ineqUB=uh, ineqLB=lb)