как решить параметры распределения по его среднему значению и дисперсии

Question

Я обновляю ОП, чтобы исходный вопрос можно было решить, решая следующие уравнения.

integral_from_0_N of (x * f(x)) dx = constant // here , constant > 0 , N > 0 

где

f(x) = g(j,k) * (x/k)^(j-1) * exp(-x/k) // here, k > 0 , j > 0 

Здесь г (J, K) = J/[K * g1 (1 + J, constant1/к) - к * g1 (1 + J, constant2/k) + exp (-констант2/k) * k^(1-j) * constant2^j - exp (-констант1/k) * k^(1-j) * constant1^j] constant1> = 0, константа 2> 0
Где

 g1(p, q) = integral_from_q_to_inf of (t^(p-1) * exp(-t)) dt 

Мне нужно найти Solutio ns для k и j.

Мне нужно решить математическую модель оптимизации с интегралом в качестве ограничений.

Min. | s1 - k1 | + | s2- k2 | 
s.t.  
    integral_from_0_to_M of f(x) = 1 

    s1 = integral_from_0_to_M of x * f(x) 
    s2 = integral_from_0_to_M of x^2 * f(x) 
    M, k1 and k2 are positive numbers 
    f(x) is a probability density function of x with arguments of 
     (alpha, beta, 0, M) 
    f(x) = G * (x * beta)^(alpha -1) * e^(-x * beta) 
    G = alpha * beta/[(gamma(alpha, 0) - gamma(alpha, M) + e^(-M*beta) * beat^(1-alpha) * M^alpha] 

Decision variables: 
     alpha > 0, beta > 0 

Любая помощь будет оценена по достоинству.

Answer 1

Чтобы применить обычные fmincon к какой-либо проблеме, вы должны определить целевую функцию (Min. | s1 - k1 | + | s2- k2 |) и ваши ограничения как числовые функции. Итак, суть в том, как определить функцию как определенную интегральную функцию. Вы можете сделать это, используя функцию matlab quadv.

Однако я должен сказать, что ваша проблема МОЖЕТ быть неправильно сформулирована. Заметим, что если f (x) - функция распределения, определенная на носителе [0, M] (она представляется гамма-функцией или некоторой ее вариацией) integral_from_0_to_M of f(x) всегда равно 1. Если она не определена на носителе [ 0, M], integral_from_0_to_M of f(x) никогда не будет равным 1. Поэтому, возможно, это ограничение не обязательно или никогда не выполняется. Я не тщательно проверял ваше дело, но убедитесь, что выбор альфа и бета сам по себе гарантирует, что это ограничение выполнено.

Кроме того, это очень необычный способ определения функции распределения с параметрами ExpectedValue = k1 и Variance = k2. Невозможно ли аналитически переопределить гамма-функцию в носителе [0, M], т. Е. Усеченную гамма-функцию? Посмотрите, как люди делают это с truncated normal distributions ...